高德菲·哈羅德·哈代

1896年考入劍橋大學三一學院，1900年當選為三一學院研究員，第二年又榮獲史密斯獎金。1910年當選為英國皇家學會會員，還受到許多科學院、大學的獎勵。1900-1911年，哈代主要研究無窮級數收斂和積分論等方面的課題。1911年，他建立起與數學家李特爾伍德（Littlewood）長達35年的密切合作關係。他們長期靠通信討論數學問題，研究丟番圖分析、堆壘數論、積性數論、黎曼ζ函數、不等式、三角級數等內容。他們共同完成了關於華林定理的新證明，推進了這個問題的進展。哈代和李特爾伍德共同建立了20世紀上半葉具有世界水準的英國劍橋分析學派。1914年，哈代發現了印度天才的青年數學家拉馬努金（Ramanujan），他把拉馬努金推薦到劍橋大學深造，不久即蜚聲數壇。哈代在與拉馬努金合作時期，完成了多項研究課題，特別在整數的分拆理論上取得一系列驚人的成果。他們的成果對近代堆壘數論的發展有重要意義。哈代曾任三一學院講師多年，1919年受聘為牛津大學薩維爾幾何學教授（Savilian Chair of Geometry）。20世紀20年代末曾到美國普林斯頓講學，1931年回到劍橋，任純粹數學教授。他培養了許多優秀的數學人才，中國著名數學家華羅庚就是他的學生。哈代在20世紀初用定量的方法研究生物學，建立了羣體遺傳平衡的代數方程，奠定了羣體遺傳學的基礎。德國醫生魏因貝格也獨立地得到同一結果，現代生物數學中稱這一定律為哈代—魏因貝格定律。哈代一生共發表300多篇論文（其中不少是與李特爾伍德合作的）和多種著作。1966年出版了他的7卷全集。

讓我們從一則小故事開始我們的 Riemann 猜想之旅吧。 故事大約發生在七十多年前， 當時英國有一位很著名的數學家叫做 Godfrey Hardy (1877-1947)， 在我看來他是兩百年來英國數學界的一位勇者。 為什麼説他是勇者呢？ 因為在十七世紀的時候， 英國數學家與歐洲大陸的數學家之間發生了一場激烈的論戰。 論戰的主題是誰先發明瞭微積分。 論戰所涉及的核心人物一邊是英國的科學泰斗 Isaac Newton (1642-1727)， 另一邊是歐洲大陸 (德國) 的哲學及數學家 Gottfried Leibniz (1646-1716)。 這一場論戰打下來， 兩邊筋疲力盡自不待言， 還大傷了和氣， 留下了曠日持久的後遺症。 自那以後， 英國的許多數學家開始排斥起來自歐洲大陸的數學進展。 一場爭論演變到這樣的一個地步， 英國數學界的集體榮譽及尊嚴、 Newton 的赫赫威名便都成了負資產， 英國的數學在保守的舞步中走起了下坡路。

這下坡路一走便是兩百年。

在這樣的一個背景下， 在複數理論還被一些英國數學家視為來自歐洲大陸的危險概念的時候， 土生土長的英國數學家 Hardy 卻對來自歐洲大陸 (而且偏偏還是德國)、 有着複變函數色彩的數學猜想——Riemann 猜想——產生了濃厚的興趣， 積極地研究它， 並且——如我們將在後文中介紹的——取得了令歐洲大陸數學界為之震動的成就， 算得上是勇者所為。

當時 Hardy 在丹麥有一位很要好的數學家朋友叫做 Harald Bohr (1887-1951)， 他是著名量子物理學家 Niels Bohr (1885-1962) 的弟弟。 Bohr 對 Riemann 猜想也有濃厚的興趣， 曾與德國數學家 Edmund Landau (1877-1938) 一起研究 Riemann 猜想 (他們的研究成果也將在後文中加以介紹)。 Hardy 很喜歡與 Bohr 共度暑假， 一起討論 Riemann 猜想。 他常常要待到假期將盡才匆匆趕回英國。 結果有一次當他趕到碼頭時， 發現只剩下一條小船可以乘坐了。 沒辦法， 他只得硬着頭皮登上。 在汪洋大海中乘坐小船可不是鬧着玩的事情， 弄得好算是浪漫刺激， 弄不好就得葬身魚腹。 信奉上帝的乘客們此時都忙着祈求上帝的保佑。 Hardy 卻是一個堅決不信上帝的人， 不僅不信， 有一年他還把向大眾證明上帝不存在列入自己的年度六大心願之中， 且排名第三 (排名第一的是證明 Riemann 猜想)。 不過在這生死攸關的時候 Hardy 也沒閒着， 他給 Bohr 發去了一張簡短的明信片， 上面只有一句話：

“我已經證明了 Riemann 猜想！”

Hardy 果真已經證明了 Riemann 猜想嗎？ 當然不是。 那他為什麼要發這麼一張明信片呢？ 回到英國後他向 Bohr 解釋了原因， 他説如果那次他乘坐的小船真的沉沒了， 那人們就只好相信他真的證明了 Riemann 猜想。 但他知道上帝是肯定不會把這麼巨大的榮譽送給他——一個堅決不信上帝的人——的， 因此上帝一定不會讓他的小船沉沒的。

上帝果然沒捨得讓 Hardy 的小船沉沒。 自那以後又過了七十幾個年頭， 吝嗇的上帝依然沒有物色到一個可以承受這麼大榮譽的人。