Mellin變換

函數f的梅林變換是：

逆變換是 ：

這是在複平面上的垂直線上的線積分。在Mellin反演定理中給出了這種反演有效的條件。這個轉換以芬蘭數學家Hjalmar Mellin命名。 ^[1] 

雙邊拉普拉斯變換可以通過梅林變換來定義：

相反，我們可以從雙邊拉普拉斯變換中得到梅林變換：

我們也可以用梅林變換定義傅里葉變換，反之亦然。就梅林變換和上面定義的雙邊拉普拉斯變換而言：

反過來我們也可獲得：

梅林變換還通過泊松 - 梅林 - 牛頓循環將牛頓級數或二項式變換與泊松生成函數連接在一起。梅林變換也可以看作是Gelfand變換的卷積代數的局部緊湊阿貝爾正實數乘法。 ^[2] 

對於

，

和

在主要分支，一個

其中

是伽馬函數。這個積分被稱為Cahen-Mellin積分。 ^[2] 

數論中的一個重要應用是簡單的函數 ^[2]  ：

因此，

假設

在概率論中，梅林變換是研究隨機變量乘積分佈的必要工具。如果X是一個隨機變量，和

表示其正面部分，而

是其負部分，則梅林變換的X被定義為：

其中

滿足

。

概率論的梅林變換的重要性在於，如果X和Y是兩個獨立的隨機變量，然後X、Y的梅林變換的結果是X和Y的梅林變換的乘積 ^[2]  ：

梅林變換由於其尺度不變性而被廣泛用於計算機科學分析算法。縮放函數的Mellin變換的幅度與純虛數輸入的原始函數的幅度相同。這種尺度不變性屬性類似於傅立葉變換的平移不變性。時移函數的傅立葉變換的幅度與原函數的傅立葉變換的幅度相同。

這個屬性在圖像識別中很有用。當物體朝向或遠離相機移動時，物體的圖像很容易被縮放。

在量子力學尤其是量子場論中，傅立葉空間是非常有用的，並且由於動量和位置是彼此的傅立葉變換（例如，在動量空間中更容易計算費曼圖），所以被廣泛使用。2011年，A. Liam Fitzpatrick，Jared Kaplan，JoãoPenedones，Suvrat Raju和Balt C. van Rees證明Mellin空間在AdS / CFT通信中起着類似的作用。 ^[1]