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雙邊拉普拉斯變換

雙邊拉普拉斯變換是一種積分變換，作用對象是任意實數t的實數函數或是複變函數 f(t)，作用結果是F(s)，其形式類似機率中的動差生成函數，雙邊拉普拉斯變換和傅立葉變換、Mellin 變換及單邊的拉普拉斯變換有緊密的關係。

雙邊拉普拉斯變換定義

若ƒ(t)為實數t的實數函數或是複變函數，t可以為任意實數，則雙邊拉普拉斯變換可以用以下的積分表示：

此積分為反常積分，此積分收斂當且僅當以下二個積分都存在：

上述F(s)在s的的某一區域內收斂（即小於無窮大），則由此積分確定的函數稱為f(t)的雙邊拉普拉斯變換，或稱為f(t)的象函數^[1] 。而稱f(t)為F(s)的原函數。

使得F(s)收斂的s的取值範圍稱為拉氏變換的收斂域。

注：在給出某函數的雙邊拉氏變換時必須註明其收斂域。

f(t)的雙邊拉普拉斯變換其實就是

的傅氏變換。如果雙邊拉普拉斯變換式的收斂域包括虛軸在內，則把F(s)中的s代換成jw就得到f(t)的傅氏變換，即有：

故可以把傅氏變換看成雙邊拉氏變換的特例，或雙邊拉氏變換是傅氏變換的推廣^[1] 。

1.線性。

若有：

其收斂域為

則有：

其中

為常數，可為實數也可為複數，收斂域R一般取

的重疊部分，也有可能擴大，若無重疊部分，此性質不成立。該性質利用拉氏正變換性質即可得^[2] 。

2.延時(時移特性)

若有：

則有：

其中

可正可負，收斂域不變^[2] 。

3.s域平移

若有

,其收斂域為R，則有：

其收斂域為

，其中Re{-a}表示取-a的實部^[2] 。

參考資料

詞條統計