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Legendre多項式
鎖定
- 中文名
- Legendre多項式
- 外文名
- Legendre polynomial
- 應用學科
- 數學
- 所屬領域
- 數學
- 作 用
- 解答微分方程
- 相關術語
- 勒讓德方程
Legendre多項式定義
為求解方便一般也寫成如下施圖姆-劉維爾形式（Sturm-Liouville form）:
上述方程及其解函數因法國數學家阿德里安-馬裏·勒讓德而得名。勒讓德方程是物理學和其他技術領域常常遇到的一類常微分方程。當試圖在球座標中求解三維拉普拉斯方程（或相關的其他偏微分方程）時，問題便會歸結為勒讓德方程的求解。
勒讓德方程的解可寫成標準的冪級數形式。當方程滿足 |x| < 1 時，可得到有界解（即解級數收斂）。並且當n為非負整數，即n= 0, 1, 2,... 時，在x= ± 1 點亦有有界解。這種情況下，隨n值變化方程的解相應變化，構成一組由正交多項式組成的多項式序列，這組多項式稱為勒讓德多項式（Legendre polynomials）。
勒讓德多項式Pn(x)是n階多項式，可用羅德里格公式表示為：
Legendre多項式正交性
勒讓德多項式的一個重要性質是其在區間 −1 ≤x≤ 1 關於L內積滿足正交性，即：
[1]
其中 δmn為克羅內克δ記號，當m=n時為1，否則為0。 事實上，推導勒讓德多項式的另一種方法便是關於前述內積空間對多項式{1,x,x, ...}進行格拉姆-施密特正交化。之所以具有此正交性是因為如前所述，勒讓德微分方程可化為標準的Sturm-Liouville問題：
其中本徵值 λ 對應於原方程中的n(n+1)。
Legendre多項式其他性質
Legendre多項式奇偶性
Legendre多項式遞推關係
相鄰的三個勒讓德多項式具有三項遞推關係式：
另外，考慮微分後還有以下遞推關係：
其中最後一個式子在計算勒讓德多項式的積分中較為有用。
Legendre多項式移位多項式
移位勒讓德多項式
的正交區間定義在[0,1]上，即：
其顯式表達式為：
相應的羅德里格公式為：
分數階多項式
分數階勒讓德多項式通過將分數階微分（定義參見分數微積分理論）和通過Γ函數定義的非整數階乘代入羅德里格公式中來定義。
Legendre多項式極限關係
大Q勒讓德多項式→勒讓德多項式
令大q雅可比多項式中的c=0，即勒讓德多項式
令連續q勒讓德多項式q->1得勒讓德多項式
小q勒讓德多項式→勒讓德多項式
