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Kronecker delta

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Kronecker delta，即克羅內克函數（又稱克羅內克δ函數、克羅內克δ、克羅內克符號）δij是一個二元函數，得名於德國數學家利奧波德·克羅內克。克羅內克函數的自變量（輸入值）一般是兩個整數，如果兩者相等，則其輸出值為1，否則為0。
中文名
克羅內克函數
外文名
Kronecker delta
又    稱
克羅內克δ函數、克羅內克δ、克羅內克符號
性    質
是一個二元函數

目錄

  1. 1 克羅內克函數
  2. 2 其它記法
  3. 3 數字信號處理
  1. 4 性質
  2. ▪ 克羅內克函數有篩選性：對任意 ：
  3. ▪ 線性代數中的應用
  1. 5 推廣
  2. 6 積分表示

Kronecker delta克羅內克函數

克羅內克函數的值一般簡寫為δij。
克羅內克函數 克羅內克函數
克羅內克函數和狄拉克δ函數都使用δ作為符號，但是克羅內克δ用的時候帶兩個下標，而狄拉克δ函數則只有一個變量。

Kronecker delta其它記法

另一種標記方法是使用艾佛森括號（得名於肯尼斯·艾佛森）：
同時，當一個變量為0時，常常會被略去，記號變為δi：
在線性代數中，克羅內克函數可以被看做一個張量，寫作
。

Kronecker delta數字信號處理

File:Unit impulse.gif 衝激函數
類似的，在數字信號處理中，與克羅內克函數等價的概念是變量為 (整數)的函數：
這個函數代表着一個衝激或單位衝激。當一個數字處理單元的輸入為單位衝激時，輸出的函數被稱為此單元的衝激響應。

Kronecker delta性質

Kronecker delta克羅內克函數有篩選性：對任意 ：

如果將整數看做一個裝備了計數測度的測度空間，那麼這個性質和狄拉克δ函數的定義是一樣的。
實際上，狄拉克δ函數是根據克羅內克函數而得名的。在信號處理中，兩者是同一個概念在不同的上下文中的表現。一般設定為連續的情況（狄拉克函數） ，而使用i, j, k, l, m, and n 等變量一般是在 離散的情況下（克羅內克函數）。

Kronecker delta線性代數中的應用

在線性代數中，單位矩陣可以寫作。
在看做是張量時（克羅內克張量），可以寫作 。
這個(1,1)向量表示:
作為線性映射的單位矩陣。 跡數。 內積 映射，將數量乘積表示為外積的形式。

Kronecker delta推廣

以同樣的方式，可以定義類似的多變量函數：
這個函數取值為1當且僅當上方的指標全都等於對應的下方指標，否則值為0.

Kronecker delta積分表示

對任意的整數n，運用標準的留數計算，可以將克羅內克函數表示成積分的形式：
其中積分的路徑是圍繞零點逆時針進行，這個表示方式與下面的另一形式等價：
。