齊次函數

把函數的自變量乘以一個因子，如果此時因變量相當於原函數乘以這個因子

的冪，則稱此函數為齊次函數。 ^[1] 

定義函數

為

次齊次函數，需滿足關係：

對於

次齊次函數

，有齊次函數的歐拉定理：

因為函數

為

次齊次函數，所以對定義式兩邊求全微分有

這兩個全微分的值必相等，於是

取

，得到

證畢。

如果方程

右端的函數

為它的變量的零次齊次函數，即滿足恆等式

那麼稱上述方程為齊次方程。

線性函數是一次齊次函數，因為根據線性的定義，對於所有的

和

，都有：

多線性函數是n次齊次函數，因為根據多線性的定義，對於所有的

和

都有：

從上一個例子中可以看出，兩個巴拿赫空間X和 Y之間的函數

的n階弗雷歇導數是n次齊次函數。

n元單項式定義了齊次函數

。

例如：

是10次齊次函數，因為：

。

齊次多項式是由同次數的單項式相加所組成的多項式。例如：

是5次齊次多項式。齊次多項式可以用來定義齊次函數。

對於以下的微分方程

其中I和 J是同次數的齊次函數，利用變量代換v=y/x，可以把它化為可分離變量的微分方程：

。