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點差法
鎖定
點差法(point difference method)是解決橢圓與直線的關係中常用到的一種方法。
點差法概念
利用點差法可以減少很多的計算,所以在解有關的問題時用這種方法比較好。
點差法具體步驟
①設直線和圓錐曲線交點為
,
,其中點座標為
,則得到關係式
因式分解的結果必為
,其中A和B根據圓錐曲線的類型來決定具體數值,
一般來説會包含有
和
兩項.
③利用
求出直線斜率,代入點斜式得直線方程為
④對於橢圓來説
點差法常見問題
弦的斜率與弦的中點問題;
在解答平面解析幾何中的某些問題時,如果能適時運用點差法,可以達到“設而不求”的目的,同時,還可以降低解題的運算量,優化解題過程. 這類問題通常與直線斜率和絃的中點有關或藉助曲線方程中變量的取值範圍求出其他變量的範圍。
與圓錐曲線的弦的中點有關的問題,我們稱之為圓錐曲線的中點弦問題.
若設直線與圓錐曲線的交點(弦的端點)座標
,
,將這兩點代入圓錐曲線的方程並對所得兩式作差,得到一個與弦的中點和斜率有關的式子,可以大大減少運算量.我們稱這種代點作差的方法為"點差法".
點差法軌跡方程
例1 拋物線
上的兩點A、B的橫座標恰是關於x的方程
,(常數
)的兩個實根,求直線AB的方程.
解:設
、
,則
①;
②;
由①、②兩式相減,整理得
③;
同理
④.
∵③、④分別表示經過點
、
的直線,因為兩點確定一條直線.
∴
,即為所求的直線AB的方程.
例2 過橢圓
內一點
作一直線
,使直線
被橢圓截得的線段恰好被點
平分,求直線
的方程.
解:設弦的兩端點為
、
,則
,
,
兩式相減,得
,因為
,
,(解釋:因為
是線段
的中點)
∴
,故直線
的方程為
,
即
求圓錐曲線方程用點差法,特別在橢圓和雙曲線居多.
點差法通用公式:
(適用於橢圓類題目)