霍奇對偶

霍奇星算子在k-形式空間與 (n-k)-形式空間建立了一個對應。一個k-形式在這個對於下的像稱為這個k-形式的霍奇對偶。k-形式空間的維數是

後一個空間的維數是

又由二項式係數的對稱性，這兩個維數事實上相等。兩個具有相同維數的形式空間總同構；但不一定有一種自然或典範的方式。但霍奇對偶性利用了向量空間內積和定向，給出了一個特定的同構，因此在代數上這反應了二項式係數的性質。這也在k-形式空間上誘導了一個內積。“自然”定義意味着這個對偶性關係在理論中可起幾何作用。

第一個有趣的情形是在三維歐幾里得空間V。在這種情形，帕斯卡三角形相關行是1, 3, 3, 1。

霍奇對偶在兩個三維空間之間建立起一個同構，一個是V自己，另一個是V中兩個向量的楔積。具體細節參見例子一節。叉積只是三維的特殊性質，但霍奇對偶在所有維數都有效。 ^[1] 

由於一個向量空間上k個變量的交錯線性形式空間自然同構於那個向量空間上的k-向量空間的對偶，霍奇對偶也能對這些空間定義。與線性代數的大部分構造一樣，霍奇對偶可以擴張到一個向量叢。這樣的霍奇對偶特別常見的是在餘切叢的外代數（即流形上的微分形式）上，可用來從外導數構造餘微分（codifferential），以及拉普拉斯-德拉姆算子，它導致了緊黎曼流形上微分形式的霍奇分解。 ^[2] 

一個定向內積向量空間V上的霍奇星算子是V的外代數（

）上的一個線性算子，是k-向量子空間（

） 與 (n-k)-向量子空間（

） 之間的線性映射，這裏

。它具有如下性質，這些性質完全定義了霍奇星算子：給定一個定向正交基

我們有

其中

是

的一個偶排列。

特別是我們有，

使用指標記法，霍奇對偶由縮並一個k-形式與n-維完全反對稱列維-奇維塔張量的指標得到。這不同於列維-奇維塔符號有一個額外因子 (detg)，這裏g是一個內積（如果g不是正定的，比如洛倫茲流形的切空間，則取行列式的絕對值）。

從而有

這裏 η 是任意一個反對稱k階張量。利用在定義列維-奇維塔張量中同一個內積g上升和下降指標。當然也可以對任何張量取星號，所得是反對稱的，因為張量的對稱分量在與完全反對稱列維-奇維塔張量縮並時完全抵消了。

霍奇對偶在k-向量空間上誘導了一個內積，即在V的外代數上。給定兩個k-向量

與

，有

這裏 ω 是正規化的體積形式。可以證明

是一個內積，它是半雙線性的，並定義了一個範數。反之，如果在

上給了一個內積，則這個等式可以做為霍奇對偶的另一種定義。

本質上，V的正交基元素的楔積組成了V的外代數的一個正交基。當霍奇星號擴張到流形上，可以證明體積形式能寫做

其中

是流形的度量。 ^[3] 

當作用兩次時霍奇星號定義了一個對偶，不考慮符號的話，所得結果是外代數上一個恆等式。給定n-維空間V上一個k-向量

，我們有

這裏s與V上內積的符號有關。具體説，s是內積張量行列式的符號。例如，如果n= 4 時，若內積的符號是 (+,-,-，-) 或 (-,+,+,+) 則s= -1。對普通的歐幾里得空間，符號總是正的，所以s= +1。在普通向量空間，這一般不是一個問題。當霍奇星號擴張到偽-黎曼流形上時，上面的內積理解為對角形式的度量。 ^[3]