除以零

基本算術中，除法指將一個集合中的物件分成若干等份。例如，10個蘋果平分給5人，每人可得10÷5 = 2個蘋果。同理，10個蘋果只分給1人，則他/她可得10÷1 = 10個蘋果。

因為任何數乘0都得0， 所以是NaN。

這個問題本身是沒有意義的，根本無人來，談論每“人”可得多少根本多餘。所以，10÷0，在基本算術中，是無意義或未下定義的。

第二種解釋是將除法理解為不斷的減法。例如“13除以5”，換一種説法，13減去兩個5，餘下3，即被除數一直減去除數直至餘數數值低於除數，算式為13÷5 = 2……3。若某數除以零，就算不斷減去零，餘數也不可能小於除數，使得算式與無窮拉上關係，超出基本算術的範疇。

另外，根據除法的意義，除法是已知兩個因數的積與其中一個因數，求另一個因數的運算。如果除數為0，則：

① 當被除數不為0（例如3÷0），由於“任何數乘0都等於0，而不可能等於不是0的數（例如3）”，此時除法算式的商不存在——即任何數的0倍都不可能為非零數；

② 當被除數為0，即除法算式0÷0，由於“任何數乘0都等於0”，於是商可以是任何數——即任何數的0倍都等於0。

為了避免以上兩種情況，我們通常不定義除數為0的除法運算。

婆羅摩笈多（598–668年）的著作Brahmasphutasiddhanta被視為最早討論零的數學和定義涉及零的算式的文本。但當中對除以零的論述並不正確，根據婆羅摩笈多，

"一個正或負整數除以零，成為以零為分母的分數。零除以正或負整數是零或以零為分子、該正或負整數為分母的分數。零除以零是零。"830年，摩訶吠羅在其著作Ganita Sara Samgraha試圖糾正婆羅摩笈多的錯誤，但不成功：

"一數字除以零會維持不變。"婆什迦羅第二嘗試解決此問題。令n/0=∞，雖然此定義有一定道理，但會導致悖論（參見下面）。

若某數學系統遵從域的公理，則在該數學系統內除以零必須為沒有意義。這是因為除法被定義為是乘法的逆向操作，即a/b值是方程bx = a中x的解（若有的話）。若設b = 0，方程式bx = a可寫成 0x = a或直接 0 = a。因此，方程bx = a沒有解（當a ≠ 0時），但x是任何數值也可解此方程（當a = 0時）。在各自情況下均沒有的數值，所以1未能下定義。

在代數運算中不當使用除以零可得出無效證明：2 = 1

由：0×1=0，0×2=0，

得出0×1=0×2。

兩邊除以零，得出0×1/0=0×2/0。

化簡，得：1=2

以上謬論一個假設，就是某數除以0是容許的並且0 / 0 = 1。

在矩陣代數或線性代數中，可定義一種虛假的除法，設a/b=ab+，當中b代表b的虛構倒數。這樣，若b存在，則b = b；若b等於0，則0 = 0。參見廣義逆。

對於函數y=1/x，當x→0時，y→∞；反之亦然。

表面看來，可以藉着考慮隨着b趨向0的a/b極限而定義a/0。 對於任何正數a，

而對於任何負數a，

所以，對於正數a，a/0可被定義為+∞，而對於負數a則可定義為-∞。不過，某數也可以由負數一方（左面）趨向零，這様，對於正數a，a/0定義為-∞，負數a定義為+∞。由此可得（假設實數的基本性質可應用在極限上）：

最終變成 +∞ = −∞，與在擴展的實數軸上對極限賦予的標準定義不相符。辦法是用沒有正負號的無限，參見下面。

另外，利用極限的比無為0/0提供解釋：

0/0並不存在，而若隨着x趨向0，f(x)與g(x)均趨向0，該極限可等於任何實數或無限，或者根本不存在，視乎f及g是何函數（參閲洛必達法則）。由此，0/0難以被定義為一極限。

2/0.1=20，2/0.01=200，2/0.001=2000，2/0.000001=2000000，…

愈接近0，所得的數愈大，所以除以0個數會變做無限大。

集合C∪{∞}為黎曼球（Riemann sphere），在複分析中相當重要。