閉包算子

形成拓撲空間子集的閉包有這些性質，如果所有子集的集合按包含 ⊆ 來排序。(注意拓撲閉包算子不由這些性質來刻畫；完全特徵刻畫請參見庫拉托夫斯基閉包公理。)

另一個典型閉包算子是: 選取羣 G 和任何 G 的子集 X，設 C(X) 是 X 生成的子羣，就是説包含 X 的 G 的最小子羣。則 C 是在 G 的子集的集合上閉包算子，它按包含 ⊆ 排序。類似的例子有向量空間的給定子集所生成的子空間，域的給定子集生成的子域，甚至泛代數意義上任何代數的給定子集生成的子代數。

從實數到實數的上取整函數，它對所有實數 x 指派不小於 x 的最小整數，也是閉包算子。

給定閉包算子 C，P 的“閉合元素”是一個元素 x，它是 C 的不動點，或者等價的説，它在 C 的像中。如果 a 是閉合的並且 x 是任意的，則有着 x ≤ a 當且僅當 C(x) ≤ a。所以 C(x) 是大於或等於 x 的最小閉合元素。我們看到 C 被唯一的確定自閉合元素的集合。

所有伽羅瓦連接都引發一個閉包算子(其條目中有解釋)。事實上，所有閉包算子都以這種方式引發自伽羅瓦連接。伽羅瓦連接不唯一的確定自閉包算子。引發閉包算子 C 的伽羅瓦連接可以描述如下: 如果 A 是關於 C 的閉合元素的集合，則 C : P → A 是在 P 和 A 之間的伽羅瓦連接的下伴隨，帶有上伴隨為把 A 嵌入到 P 中。進一步的説，所有把某個子集嵌入 P 的下伴隨都是閉包算子。“閉包算子是嵌入的下伴隨”。但是注意不是所有嵌入都有下伴隨。

任何偏序集合 P 都可以被看作範疇，帶有從 x 到 y 的一個單一態射當且僅當 x ≤ y。在偏序集合 P 上的閉包算子就是在範疇 P 上的 monad。等價的説，閉包算子可以被單做有額外的冪等和擴展性質的 Posets 範疇的 endofunctor。

如果 P 是完全格，則 P 的子集 A 是對某個 P 上閉包算子的閉合元素的集合，當且僅當 A 是在 P 上的 Moore家族，就是説 P 的最大元素在 A 中，並且任何 A 中非空子集的下確界(交運算)也在 A 中。任何這樣的集合 A 自身是帶有繼承自 P 的次序的完全格(但是上確界(並運算)可能不同於 P 的)。在 P 上的閉包算子自身形成一個完全格；在閉包算子上的次序定義為 C₁ ≤ C₂ 當且僅當 C₁(x) ≤ C₂(x) 對於所有 P 中的 x。

閉包算子有很多應用。

在拓撲結構中，閉包算子是拓撲關閉算子，必須滿足：

對於所有的

(注意當n=0時

)。

在代數和邏輯上，許多閉包算子是有限的，即他們滿足： ^[2] 

在通用邏輯中，閉包算子也被稱為結果算子。

在理論計算機科學中重要的部分有序集理論中，閉包算子有另外的定義。

如上面提及的，閉包可以被看作來自伽羅瓦連接。如果把伽羅瓦連接推廣為伴隨函子，閉包的對應是monad。