迴歸直線

迴歸直線方程是根據樣本資料通過迴歸分析所得到的反映一個變量（因變量）對另一個或一組變量（自變量）的迴歸關係的數學表達式。指在一組具有相關關係的變量的數據（x與Y）間，一條最好地反映x與Y之間的關係直線。離差作為表示xi對應的迴歸直線縱座標y與觀察值yi的差，其幾何意義可用點與其在迴歸直線豎直方向上的投影間的距離來描述。數學表達:yi-y^=yi-a-bxi.總離差不能用n個離差之和來表示，通常是用離差的平方和即(yi-a-bxi)^2計算。

如果散點圖中點地分佈從整體看大致在一條直線附近，我們就稱這兩個變量之間具有線性相關關係。可以包括正相關和負相關。這條直線叫作迴歸直線。根據不同地標準，可以畫出不同地直線來近似表示這種線性相關關係。比如可以連接最左側點和最右側點得到一條直線，或者讓畫出地直線上方地點和下方地點數目相等。當所有數據點都分佈在一條直線附近，顯然這樣地直線還可以畫出許多條，而我們希望找出其中地一條，它能最好地反映x與Y地關係，換言之，我們要找出一條直線，使這條直線“最貼近”已知地數據點。記此直線方程為y^=a+bx。這裏在y地上方加記號“^”是為了區分Y地實際值y，表示x取值xi(i=1，2，3……，n)時，Y相應地觀察值為yi，而直線上對應於xi地縱座標是yi^=a+bxi（i為x右下角地數值）。y^=a+bx式叫作Y對x地迴歸直線方程，b叫迴歸係數。要確定迴歸直線方程，只要確定a與迴歸係數b。

在迴歸分析中，用來描述具有線性關係的因變量y與自變量xi的關係曲線，其一般表達式是y=a+∑bixi，i=1,2,…,n。

“迴歸”這個詞是由英國著名的統計學家 Francils Galton 提出來的。1889年，他在研究祖先與後代身高之間的關係時發現，身材較高的父母，他們的孩子也較高，但這些孩子的平均身高並沒有他們父母的平均身高高；身材較矮的父母，他們的孩子也較矮，但這些孩子的平均身高卻比他們父母平均身高高。Galton 把這種後代的身高向中間值靠近的趨勢稱為“迴歸現象”。後來，人們把由一個變量的變化去推測另一個變量的變化的方法叫做迴歸方法。 ^[1]