超越方程

這類方程除極少數情形（如簡單的三角方程）外，只能近似地數值求解，此種數值解法的研究至今仍是計算數學的主要課題。超越方程的數值解法也適用於代數方程。 ^[2] 

求解超越方程的近似解法有很多，圖象法雖然形象，但得到的解誤差太大了。常用的近似解法有牛頓切線法、冪級數解法等等，也可以編制一段程序用計算機求解，或者利用現成的軟件求解，例如大多數電腦都安裝的EXCEL也可以用來求解超越方程。

matlab軟件是獲得數值解的一個最強大的工具。常用的命令有fsolve, fzero 等，但超越方程的解很難有精確的表達式，因此在matlab中常用eval()函數得到近似數值解，再用vpa()函數控制精度。

二分法，如圖1

迭代法：解超越方程的主要方法，既適用於求實根，也適用於求復根。使用這類方法時一般需要知道根的足夠好的近似值。最常用的方法有牛頓法、割線法、二次插值法、雙曲插值法、切比雪夫迭代法、艾特肯δ2加速方法和斯梯芬森方法等。

牛頓法：也稱切線法，其計算公式為z0為事先選定的根的初始近似。設z為 ƒ(z)的根，若ƒ(z)在z的某鄰域內二次可微，且ƒ┡(z)≠0,則當z0與z充分接近時，牛頓法至少是二階收斂的,即當k充分大時有估計式成立，C為確定的常數。一般説來，牛頓法只具有局部收斂性，即僅當初始近似與根充分接近時才收斂。但是，當ƒ(x)為實函數，且於[α,b]上ƒ┡(x)和 ƒ″(x)不變號時，若ƒ(x)於[α,b]上有根，則只要初始近似x0滿足條件ƒ(x0) ƒ″(x0)>0,牛頓法就收斂。一般情形，為減弱對初始近似的限制，可利用牛頓下降算法，其算式為ωk>0為迭代參數，由條件│ƒ(z_k+1)│z_k)│確定，牛頓法的k+1次近似z_k+1是ƒ(z)在z_k處的泰勒展開式的線性部分的根。

割線法：又稱弦位法，其算式為z0、z1為初始近似。若ƒ(z)於其根z的某鄰域二次連續可微,且ƒ┡(z)≠0,則z₀、z₁與z充分接近時,割線法收斂於z,並當k充分大時有估計式式中C為常數,割線法的k+1次近似z_k+1是以z_k、z_k-1為插值節點的線性插值函數的根,如果利用更精確的近似表達式則可構造出更高階的迭代法。

二次插值法：亦稱繆勒方法，是利用二次插值多項式構造的迭代算法。設已確定了z_k、z_k-1、z_k-2，則z_k+1就取為以z_k、z_k-1、z_k-2為節點的二次插值多項式兩個根中與zk最接近者，其算式為式中“±”號選成使分母的模為最大者，而

式中當分母為0，則λk=1。

雙曲插值法 ：利用線性分式插值構造的迭代算法，其算式為式中μ_k、δ_k、Δz_k和ƒ_k的意義與二次插值法相同。

若ƒ(z)在其根z的某鄰域內三次可微,並且z0、z1、z2與z充分接近，則二次插值法和雙曲插值法均收斂。此外，如果ƒ┡(z)≠0，對充分大的k，有估計式式中C為確定常數，τ為方程式t3-t2-t-1=0的惟一正根，τ=1.839…。

切比雪夫迭代法 ：三階收斂的方法，其算式為當ƒ(z)在其根z的鄰域內三次可微且ƒ┡(z)≠0時，對充分大的k，有C為確定常數。

艾特肯δ2加速方法 ：提高迭代法收斂速度的有效算法，設{z_k}為迭代序列，δ2加速的算式為若ƒ(z)在其根z處充分光滑，且ƒ(z)≠0,則對充分大的k，有並且若z_k是p(p>1)階收斂，即C0均為常數。當ƒ┡(z)=0時也有加速作用。此算法可以循環使用。

斯梯芬森方法：不算微商而二階收斂的方法，其算式為它可由迭代算法循環使用 δ2程序導出。

所有的迭代法用於求重根（即ƒ┡(z)=0）時， 其收斂速度將變慢，收斂階將降低。

為求得達到所需精度的解而花費的代價是評價迭代法優劣的依據，效能指數是其重要指標，它定義為p1/寶，p為收斂階，μ為每步需要計算的函數值和微商值的總數。效能指數越大，説明方法越好。二分法及上述各種迭代法的收斂階（單根時和重根時）和效能指數如表。

只有當初始近似與解充分接近時，迭代法才收斂，這是所述算法的共同特點。減弱對初始近似的限制是提高迭代法有效性的重要措施，例如，牛頓法中引進下降因子。對一些特殊函數類（如單調函數，只有實根的解析函數等）的大範圍收斂迭代算法也有一些研究工作。

以下的方程分別因為有指數函數、三角函數等超越函數，因此均為超越方程。 ^[1] 

在天文學中，有關軌道偏近點角E的開普勒方程也是超越方程：

其中：

M為軌道的平近點角。

e為軌道的離心率。