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冪級數解法

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冪級數解法是求解常微分方程的一種方法，特別是當微分方程的解不能用初等函數或或其積分式表達時，就要尋求其他求解方法，尤其是近似求解方法，冪級數解法就是常用的近似求解方法。用冪級數解法和廣義冪級數解法可以解出許多數學物理中重要的常微分方程，例如: 貝塞爾方程、勒讓德方程。 [1] 
中文名
冪級數解法
外文名
power series method
所屬學科
數學
應    用
求解常微分方程的一種方法

目錄

  1. 1 一階方程
  2. 2 二階方程

冪級數解法一階方程

基本方法
求
滿足初始條件
的特解，其中
我們假設所求的特解可展開成
的冪級數：
其中，
是待定係數，把上式代入
中便得一恆等式，比較所得恆等式兩端
的同次冪的係數，就可定出常數
，以這些常數為係數的級數在其收斂區間內就是方程
滿足初始條件
的特解。 [2] 
例題解析
例1 求方程
滿足
的特解。 [3] 
解 由於
，故設特解為
把
的冪級數展開式代入原方程，得
比較x同次冪係數，得
故所求解的冪級數展開式的前幾項為

冪級數解法二階方程

定理
若方程
中的係數P(x)與Q(x)可在
內展開為x的冪級數，則原方程必有如下冪級數解
求解方法
設解為
，將P(x)，Q(x)，f(x)展開為
的冪級數，比較恆等式兩端x的同次冪係數，確定x。 [2] 
參考資料
  • 1.    《數學辭海》編輯委員會．數學辭海·第三卷：中國科學技術出版社 ，2002.8
  • 2.    陳敬華，潘繼斌，李必文．高等數學 下冊：機械工業出版社，2014.06
  • 3.    何紅洲．高等數學 （下冊）：中國水利水電出版社，2015.02