譜密度

能量譜密度描述的是信號或者時間序列的能量或者變化如何隨着頻率分佈。如果 是一個有限能量信號，即平方可積，那麼信號的譜密度 就是信號連續傅里葉變換幅度的平方。

其中 是角頻率（循環頻率的 倍）， 是 的連續傅里葉變換。 是的共軛函數。

如果信號是離散的 ，經過有限的元素之後，仍然得到能量譜密度：

其中 是 的離散時間傅里葉變換。如果所定義的數值個數是有限的，這個序列可以看作是週期性的，使用離散傅里葉變換得到離散頻譜，或者用零值進行擴充從而可以作為無限序列的情況計算譜密度。

乘數因子 經常不是絕對的，它隨着不同傅里葉變換定義的歸一化常數的不同而不同。

上面能量譜密度的定義要求信號的傅里葉變換必須存在，也就是説信號平方可積或者平方可加。一個經常更加有用的替換表示是功率譜密度（PSD），它定義了信號或者時間序列的功率如何隨頻率分佈。這裏功率可能是實際物理上的功率，或者更經常便於表示抽象的信號被定義為信號數值的平方，也就是當信號的負載為1歐姆(ohm)時的實際功率。此瞬時功率（平均功率的中間值）可表示為：

由於平均值不為零的信號不是平方可積的，所以在這種情況下就沒有傅里葉變換。幸運的是維納-辛欽定理（Wiener-Khinchin theorem）提供了一個簡單的替換方法，如果信號可以看作是平穩隨機過程，那麼功率譜密度就是信號自相關函數的傅里葉變換。

信號的功率譜密度當且僅當信號是廣義的平穩過程的時候才存在。如果信號不是平穩過程，那麼自相關函數一定是兩個變量的函數，這樣就不存在功率譜密度，但是可以使用類似的技術估計時變譜密度。

信號功率譜的概念和應用是電子工程的基礎，尤其是在電子通信系統中，例如無線電和微波通信、雷達以及相關係統。人們已經花費了很大的精力和大量的金錢投入到開發、生產“頻譜分析儀”這種電子設備，用來幫助電子工程師、技術人員、技工觀察、測量電子信號的功率譜。頻譜分析儀的價格根據帶寬和精度的不同而不同，質量最好的儀器的價格超過 100，000 美元。

File:En:SPD.png

主條目：Colorimetry

光源的頻譜是每個頻率攜帶的功率或者光源中“顏色”的度量。光譜通常是沿着可見光在波長空間而不是頻率空間測量的不同點（通常是 31 個點）進行測量，它不是嚴格意義上的譜密度。一些分光光度計能夠分辨高達 1 到 2 納米 的增量精度，測量值用來計算其它的規格然後繪製出來顯示光源的頻譜屬性。這對於分析特定光源的顏色特性來説是一個非常有用的工具。

在物理學中，信號通常是波的形式，例如電磁波、隨機振動或者聲波。當波的頻譜密度乘以一個適當的係數後將得到每單位頻率波攜帶的功率，這被稱為信號的功率譜密度（power spectral density, PSD）或者譜功率分佈（spectral power distribution, SPD）。功率譜密度的單位通常用每赫茲的瓦特數（W/Hz）表示，或者使用波長而不是頻率，即每納米的瓦特數（W/nm）來表示。

儘管並非一定要為信號或者它的變量賦予一定的物理量綱，下面的討論中假設信號在時域內變化。

· f（t）的譜密度和 f（t）的自相關組成一個傅里葉變換對（對於功率譜密度和能量譜密度來説，使用着不同的自相關函數定義）。

· 通常使用傅里葉變換技術估計譜密度，但是也可以使用如Welch法（Welch's method）和最大熵這樣的技術。

· 傅里葉分析的結果之一就是Parseval定理（Parseval's theorem），這個定理表明能量譜密度曲線下的面積等於信號幅度平方下的面積，總的能量是：

：上面的定理在離散情況下也是成立的。另外的一個結論是功率譜密度下總的功率與對應的總的平均信號功率相等，它是逐漸趨近於零的自相關函數。

· 大多數“頻率”圖實際上僅僅表示了譜密度。有時完整的頻率要用兩部分來表示，一部分是對應於頻率的“幅度”（它就是譜密度），另外一部分是對應於頻率的“相位”（它包含了頻譜中剩餘的其它信息）。信號 f(t) 可以從一個完整的頻譜進行恢復。需要注意的是 f(t) 不能僅僅從譜密度這一部分進行恢復——它丟失了“臨時信息”。

· 信號的 譜矩心（spectral centroid） 是譜密度函數的中點，也就是説將整個分佈切分成兩個相等部分的點。

· 譜密度是頻率的函數，而不是時間的函數。但是，也可以計算一個較長信號上一小段“窗口”的譜密度，並且根據與事件相關的窗口進行繪圖，這樣的圖形稱為頻（spectrogram）。這是短時傅里葉變換和小波等許多譜分析技術的基礎。