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離散傅里葉變換
鎖定
離散傅里葉變換（Discrete Fourier Transform，DFT）傅里葉分析方法是信號分析的最基本方法，傅里葉變換是傅里葉分析的核心，通過它把信號從時間域變換到頻率域，進而研究信號的頻譜結構和變化規律。
離散傅里葉變換定義
離散傅里葉變換（DFT），是傅里葉變換在時域和頻域上都呈現離散的形式，將時域信號的採樣變換為在離散時間傅里葉變換（DTFT）頻域的採樣。在形式上，變換兩端（時域和頻域上）的序列是有限長的，而實際上這兩組序列都應當被認為是離散週期信號的主值序列。即使對有限長的離散信號作DFT，也應當將其看作經過週期延拓成為週期信號再作變換。在實際應用中通常採用快速傅里葉變換以高效計算DFT。
離散傅里葉變換物理意義
（1）物理意義
設x(n)是長度為N的有限長序列，則其傅里葉變換，Z變換與離散傅里葉變換分別用以下三個關係式表示
單位圓上的Z變換就是序列的傅里葉變換
離散傅里葉變換是x(n)的頻譜X(ejω)在[0,2π]上的N點等間隔採樣,也就是對序列頻譜的離散化,這就是DFT的物理意義.
離散傅里葉變換基本性質
1.線性性質
如果X1（n）和X2(N)是兩個有限長序列，長度分別為N1和N2，且Y(N)=AX1(N)+BX2(N)
式中A,B為常數，取N=max[N1,N2]，則Y(N）的N點DFT為
Y(K)=DFT[Y(N)]=AX1(K)+BX2(K), 0≤K≤N-1;
2.循環移位特性
設X(N)為有限長序列，長度為N，則X(N)地循環移位定義為
Y(N)=X((N+M))下標nR（N）
式中表明將X(N）以N為週期進行週期拓延得到新序列X'(N)=X((N))下標n，再將X'(N）左移M位，最後取主值序列得到循環移位序列Y(N)
離散傅里葉變換隱含的週期性
DFT的一個重要特點就是隱含的週期性,從表面上看,離散傅里葉變換在時域和頻域都是非週期的,有限長的序列,但實質上DFT是從DFS引申出來的,它們的本質是一致的,因此DTS的週期性決定DFT具有隱含的週期性。可以從以下三個不同的角度去理解這種隱含的週期性
(1)從序列DFT與序列FT之間的關係考慮X(k)是對頻譜X(ejω)在[0,2π]上的N點等間隔採樣，當不限定k的取值範圍在[0,N-1]時，那麼k的取值就在[0,2π]以外，從而形成了對頻譜X(ejω)的等間隔採樣。由於X(ejω)是週期的，這種採樣就必然形成一個週期序列
(2)從DFT與DFS之間的關係考慮。
，當不限定N時，具有周期性
(3)從WN來考慮，當不限定N時，具有周期性
離散傅里葉變換用DFT對模擬信號進行譜分析
在工程實際中經常遇到的模擬信號xn(t),其頻譜函數Xn(jΩ)也是連續函數，為了利用DFT對xn(t)進行譜分析，對xn(t)進行時域採樣得到x(n)= xn(nT),再對x(n)進行DFT，得到X(k)則是x(n)的傅里葉變換X(ejω)在頻率區間[0,2π]上的N點等間隔採樣，這裏x(n)和X(k)都是有限長序列
然而，傅里葉變換理論證明，時間有限長的信號其頻譜是無限寬的，反之，弱信號的頻譜有限寬的則其持續時間將為無限長，因此，按採樣定理採樣時，採樣序列應為無限長，這不滿足DFT的條件。實際中，對於頻譜很寬的信號，為防止時域採樣後產生‘頻譜混疊’，一般用前置濾波器濾除幅度較小的高頻成分，使信號的帶寬小於摺疊頻率；同樣對於持續時間很長的信號，採樣點數太多也會導致存儲和計算困難，一般也是截取有限點進行計算。上述可以看出，用DFT對模擬信號進行譜分析，只能是近似的，其近似程度取決於信號帶寬、採樣頻率和截取長度
模擬信號xn(t)的傅里葉變換對為
用DFT方法計算這對變換對的方法如下：
（a）對xn(t)以T為間隔進行採樣，即xn(t)|t=nT= xa(nT)= x(n),由於
t→nT,dt→T, {-∞,+∞}→∑n={-∞,+∞}
因此得到
X(jΩ)≈∑n={-∞,+∞}x(nT)*exp^-jΩnT*T
x（nT）≈1/2π{0, Ωs} X(JΩ)*e^jΩnT Dω
（b）將序列x(n)= xn(t)截斷成包含有N個抽樣點的有限長序列
X(jΩ)≈T∑n={0,N-1}x(nT)*exp^-jΩnT*T
由於時域抽樣，抽樣頻率為fs=1/T,則頻域產生以fs為週期的週期延拓，如果頻域是帶限信號，則有可能不產生頻譜混疊，成為連續週期頻譜序列，頻譜的週期為fs=1/T
（c）為了數值計算，頻域上也要抽樣，即在頻域的一個週期中取N個樣點，fs=NF0,每個樣點間隔為F0，頻域抽樣使頻域的積分式變成求和式，而在時域就得到原來已經截斷的離散時間序列的週期延拓，時間週期為T0=1/F0。因此有
Ω→kΩ0，dΩ→Ω0，{-∞,+∞} dΩ→∑n={-∞,+∞}Ω0
T0=1/F0=N/fs=NT
Ω0=2ΠF0
Ω0T=Ω0/fs=2π/N
X(jkΩ0)≈T∑n={0,N-1}x(nT)*exp^-jkΩ0nT
離散傅里葉變換判斷方法
判斷系統是否為最小相位系統的簡單方法是：如果兩個系統的傳遞函數分子和分母的最高次數都分別是m，n，則頻率ω趨於無窮時，兩個系統的對數幅頻曲線斜率均為－20（n－m）dB/dec但對數相頻曲線卻不同：最小相位系統趨於－90°（n－m），而非最小相位系統卻不這樣。
離散傅里葉變換注意事項
（1）時域和頻域混疊
根據採樣定理，只有當採樣頻率大於信號最高頻率的兩倍時，才能避免頻域混疊。實際信號的持續時間是有限的，因而從理論上來説，其頻譜寬度是無限的，無論多 大的採樣頻率也不能滿足採樣定理。但是超過一定範圍的高頻分量對信號已沒有多大的影響，因而在工程上總是對信號先進行低通濾波
另一方面，DFT得到的頻率函數也是離散的，其頻域抽樣間隔為F0，即頻率分辨力。為了對全部信號進行採樣，必須是抽樣點數N滿足條件
N=T0/T=fs/F0
從以上兩個公式來看，信號最高頻率分量fc和頻率分辨力F0有矛盾。若要fc增加，則抽樣間隔T就要減小，而FS就要增加，若在抽樣點數N不變的情況下，必然是F0增加，分辨力下降。唯一有效的方法是增加記錄長度內的點數N，在fc和F0給定的條件下，N必須滿足
N>2fc/F0
（2）截斷效應
在實際中遇到的序列x(n)，其長度往往是有限長，甚至是無限長，用DFT對其進行譜分析時，必須將其截斷為長度為N的有限長序列
Y(n)=x(n).RN(n)
根據頻率卷積定理
Y(e)=1/2Πx(e)*H(e)
|ω|<2π/N叫做主瓣，其餘部分叫做旁瓣
（3）頻譜泄露
原序列x(n)的頻譜是離散譜線，經截斷後使每根譜線都帶上一個辛格譜，就好像使譜線向兩邊延申，通常將這種是遇上的截斷導致頻譜展寬成為泄露，泄露使得頻譜變得模糊，分辨率降低
（4）譜間干擾
因截斷使主譜線兩邊形成許多旁瓣，引起不同分量間的干擾，成為譜間干擾，這不僅影響頻譜分辨率，嚴重時強信號的旁瓣可能湮滅弱信號的主譜線。
截斷效應是無法完全消除的，只能根據要求折中選擇有關參量。
（5）柵欄效應
N點DFT是在頻率區間[0,2π]上對信號的頻譜進行N點等間隔採樣，得到的是若干個離散點X(k)，且它們之限制為基頻F0的整數倍，這部好像在柵欄的一邊通過縫隙看另一邊的景象，只能在離散點的地方看到真實的景象，其餘部分頻譜成分被遮攔，所以稱為柵欄效應。
減小柵欄效應，可以在時域數據末端增加一些零值點，是一個週期內的點數增加
（6）信號長度的選擇
在時域內對信號長度的選擇會影響DFT運算的正確性。實際的信號往往是隨機的，沒有確定的週期，因此在實際中，應經可能估計出幾個典型的、帶有一定週期性的信號區域進行頻譜分析，然後在取其平均值，從而得到合理的結果。
離散傅里葉變換計算機代碼
1.C語言實現代碼
int DFT(int dir,int m,double *x1,double *y1)
{
long i,k;
double arg;
double cosarg,sinarg;
double *x2=NULL,*y2=NULL;
x2=malloc(m*sizeof(double));
y2=malloc(m*sizeof(double));
if(x2==NULL||y2==NULL)return(FALSE);
for(i=0;i<m;i++)
{
x2[i]=0;
y2[i]=0;
arg=-dir*2.0*3.141592654*(double)i/(double)m;
for(k=0;k<m;k++)
{
cosarg=cos(k*arg);
sinarg=sin(k*arg);
x2[i]+=(x1[k]*cosarg-y1[k]*sinarg);
y2[i]+=(x1[k]*sinarg+y1[k]*cosarg);
}
}
/*Copythedataback*/
if(dir==1)
{
for(i=0;i<m;i++)
{
x1[i]=x2[i]/(double)m;
y1[i]=y2[i]/(double)m;
}
}
else
{
for(i=0;i<m;i++)
{
x1[i]=x2[i];
y1[i]=y2[i];
}
}
free(x2);
free(y2);
return(TRUE);
}
