譜半徑

設

有幺元的復巴拿赫代數，a為

的元，a的譜為

。則a的譜半徑為 ^[3] 

若x為含幺C*代數的正規元，則x的範數等於其譜半徑。 ^[4] 

若

是複數域上的n階方陣，又

是A的全部特徵值，則

稱為A的譜半徑。 ^[1] 

在討論矩陣的範數時，我們知道，矩陣A的每一個特徵值的模(絕對值)，都不超過矩陣A(在任意一種矩陣範數

定義下)的範數

即

。 ^[1] 

由此即得：

複數域上的任一n階方陣

的譜半徑

都不超過A的範數

即

這裏

是任一方陣範數。

若取方陣範數

為

，

或

，則有下面的推論：

（1）

（2）

（3）

這裏

為矩陣

的最大特徵值。

當

是正規矩陣時，則有下述定理。 ^[1] 

若A為n階正規矩陣，則

證明 因A是正規矩陣，故存在酉矩陣P，使得

由此可得

從而

又顯然有

這裏

是

中的某一值，因此有

而

所以

證畢。

由於對角形矩陣、實對稱矩陣、實反對稱矩陣、正交矩陣、酉矩陣、厄米特矩陣、反厄米特矩陣都是正規矩陣，所以對於它們都具有性質

。 ^[1] 

對任意

，存在

上的某種矩陣範數

，使得對任意

恆有

注意：這裏的矩陣範數

與矩陣A無關。 ^[2]