反饋

調和映射

調和映射(harmonic map)黎曼流形之間的一類十分重要的可微映射。數學上，在黎曼流形M和N之間的一個（光滑）映射，稱為調和映射。^[1]

調和映射數學定義

給出黎曼流形(M,g), (N,h)和映射φ:M→N，定義φ在M中一點x上的能量密度為^[2]

其中

是φ的微分的範數平方，範數是對向量叢TM⊗φTN上的導出度量而取。能量是能量密度在M上的積分

其中dv_g是M上由度量導出的測度。這是古典狄利克雷能量的推廣。

能量密度可以更明確地表作

用愛因斯坦求和約定，上式右方在局部座標中可表示為：

當M是緊緻時，則φ稱為調和映射，若φ是能量泛函E的一個臨界點。這個定義可以延伸至M不是緊緻的情況：φ稱為調和映射，若φ限制到任一個緊緻區域上都是調和映射，換一個更通常的説法，就是若在索伯列夫空間H(M,N)中φ是能量泛函一個臨界點。

調和映射的另一個等價定義，就是φ滿足與泛函E對應的歐拉-拉格朗日方程：

其中∇是向量叢TM⊗φ上由M和N的列維-奇維塔聯絡導出的聯絡。式中τ(φ)是向量叢φ(TN)的截面，稱為φ的張力場。用上文的物理比喻來説，τ(φ)是“橡膠”流形M要使能量極小化時在N中擬欲移動的方向。

恆等映射和常映射是調和映射。^[3]
若M是實數線R（或圓S），也就是説φ是N上的一條曲線（或閉曲線），那麼φ是調和映射當且僅當φ是測地線。（這時上述的橡膠與大理石比喻，就變為測地線常用的橡皮圈比喻。）
若N是歐氏空間R，那麼φ是調和映射當且僅當φ是通常意義上的調和函數（即拉普拉斯方程的一個解）。這是狄利克雷原理的結果。若φ是滿射到N的開子集上的微分同胚，則φ給出一個調和座標系。
在歐氏空間中的極小曲面都是調和浸入。
更一般地，N中的極小子流形M是從M到N的調和浸入。
全測地映射都是調和映射。（此時不僅∇dφh的跡（trace），連∇dφh也變為零。）
凱勒流形間的任何全純映射都是調和映射。

度量空間中的調和映射。

對於兩個度量空間之間的映射u:M→N這個比黎曼流形弱的場合，能量積分也有相應的推廣。（Jost 1995）這時用以下形式的函數代替能量積分：

其中

是依附在M每一點上的測度族。^[2]

參考資料

1. Eells, J.; Sampson, J.H., Harmonic mappings of Riemannian manifolds, Amer. J. Math., 1964, 86: 109–160, JSTOR 2373037
2. Eells, J.; Lemaire, J., Another report on harmonic maps, Bull. London Math. Soc., 1988, 20: 385–524.
3. Jost, Jürgen, Equilibrium maps between metric spaces, Calculus of Variations and Partial Differential Equations, 1994, 2 (2): 173–204, ISSN 0944-2669, MR 1385525, doi:10.1007/BF01191341

詞條統計