誘導拓撲

設X是一個非空集合，X的冪集的子集（即是X的某些子集組成的集族）T稱為X的一個拓撲。當且僅當：

1．X和空集{}都屬於T；

2．T中任意多個成員的並集仍在T中；

3．T中有限多個成員的交集仍在T中。

稱集合X連同它的拓撲τ為一個拓撲空間，記作（X,T）。

稱T中的成員為這個拓撲空間的開集。

定義中的三個條件稱為拓撲公理。（條件（3）可以等價的換為τ中兩個成員的交集仍在τ中。）

從定義上看，給出某集合的一個拓撲就是規定它的哪些子集是開集。這些規定不是任意的，必須滿足三條拓撲公理。

一般説來，一個集合上可以規定許多不相同的拓撲，因此説到一個拓撲空間時，要同時指明集合及所規定的拓撲。在不引起誤解的情況下，也常用集合來代指一個拓撲空間，如拓撲空間X，拓撲空間Y等。

同時，在拓撲範疇中，我們討論連續映射。定義為：f: (X,T1) ------> (Y,T2) （T1,T2是上述定義的拓撲）是連續的當且僅當開集的原像是開集。兩個拓撲空間同胚當且僅當存在一一對應的互逆的連續映射。同時，映射同倫和空間同倫等價也是很有用的定義。 ^[2] 

誘導拓撲(induced topology)是指構造拓撲的一種方法。設f.是集合X到拓撲空間(Y , U)的映射。在X上的所有使得f連續的拓撲中，最粗的拓撲T稱為由(Y,U)及f確定的誘導拓撲。實際上，

反之，若f是拓撲空間(X,T)到集合Y上的映射。在Y上的所有使得f連續的拓撲中，最細的拓撲U稱為由(X,T)及f確定的誘導拓撲。也稱為由f與X上的拓撲確定的Y的商拓撲。實際上， ^[3] 

性質1集合X的離散拓撲T是X的最大拓撲，即對X的每一個拓撲T1，均有。

證明由拓撲T1的定義可得： 對A∈T1，有A∈ P(x)。此外，T是X的離散拓撲意味着T =P(x) ，因此，A∈T，從而由A的任意性可知。

性質2離散拓撲空間(X，T) 中：

①點x的鄰域系是Ux= AX | x∈ A}，即凡是X的包含x的子集都是x的鄰域。

② X的每一個子集既開又閉。

證明對任意的x∈X，有{x}∈P(x)= T，故{x} 是開集。另外，對任意的x ∈ A

X，有x∈{x}A，從而由鄰域的定義可知A是X的鄰域。

設A是X中的任一子集，那麼有A∈P(x)=T，即A是開集。另一方面，由X ～ AX可得Ac∈P(x)= T， 故A是閉集。

注： 一般拓撲空間的子集也可能是既不開也不閉的。

性質3離散拓撲空間(X，T) 中，若AX，則A的導集A' = ，即A中不含有任何一個聚點。

證明 對任意的x∈X，存在x的一個開鄰域{x} ，使得{x}∩(A －{x} )=

，從而x不是A的聚點，因此，由x的任意性可得：集合A中不含有任何一個聚點，即A' =

。 ^[4]