解析信號

在數學和信號處理中，解析信號（英語：analytic signal）是沒有負頻率分量的復值函數。解析信號的實部和虛部是由希爾伯特變換相關聯的實值函數。

實值函數的解析表示是解析信號，包含原始函數和它的希爾伯特變換。這種表示促進了許多數學變換的發展。基本的想法是，由於頻譜的埃爾米特對稱，實值函數的傅里葉變換（或頻譜）的負頻率成分是多餘的。若是不介意處理復值函數的話，這些負頻率分量可以丟棄而不損失信息。這使得函數的特定屬性更易理解，並促進了調製和解調技術的衍生，如單邊帶。只要操作的函數沒有負頻率分量（也就是它仍是“解析函數”），從複數轉換回實數就只需要丟棄虛部。解析表示是相量概念的一個推廣：相量限制在時不變的幅度、相位和頻率，解析信號允許有時變參數。 ^[1] 

在數學和信號處理中，希爾伯特變換（英語：Hilbert transform）是一個對函數u(t) 產生定義域相同的函數H(u)(t) 的線性算子。

希爾伯特變換在信號處理中很重要，能夠導出信號u(t) 的解析表示。這就意味着將實信號u(t) 拓展到複平面，使其滿足柯西－黎曼方程。 例如，希爾伯特變換引出了傅里葉分析中給定函數的調和共軛，也就是調和分析。等價地説，它是奇異積分算子與傅里葉乘子的一個例子。

希爾伯特變換最初只對週期函數（也就是圓上的函數）有定義，在這種情況下它就是與希爾伯特核的卷積。然而更常見的情況下，對於定義在實直線R（上半平面的邊界）上的函數，希爾伯特變換是指與柯西核卷積。希爾伯特變換與帕利-維納定理有着密切的聯繫，帕利-維納定理是將上半平面內的全純函數與實直線上的函數的傅里葉變換相聯繫起來的另一種結果。

希爾伯特變換是以大衞·希爾伯特來命名的，他首先引入了該算子來解決全純函數的黎曼–希爾伯特問題的一個特殊情況。 ^[1]