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裂項法
鎖定
裂項法,這是分解與組合思想在數列求和中的具體應用。是將數列中的每項(通項)分解,然後重新組合,使之能消去一些項,最終達到求和的目的。 通項分解(裂項)倍數的關係。通常用於代數,分數,有時候也用於整數。
- 中文名
- 裂項法
- 別 名
- 裂項相消法
- 表達式
- 1/[n(n+1)]=(1/n)- [1/(n+1)]等
- 適用領域
- 代數,分數,整數
- 應用學科
- 數學
- 相關數列求法
- 錯位相減法,分組求和法
裂項法裂項法求和
裂項法示例
【例1】【分數裂項基本型】求數列an=1/n(n+1) 的前n項和.
解:an=1/[n(n+1)]=(1/n)- [1/(n+1)](裂項)
則 Sn=1-(1/2)+(1/2)-(1/3)+(1/3)-(1/4)…+(1/n)-[1/(n+1)](裂項求和)
= 1-1/(n+1)
= n/(n+1)
【例2】【整數裂項基本型】求數列an=n(n+1) 的前n項和.
解:an=n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3(裂項)
則 Sn=[1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+……+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3(裂項求和)
= [n(n+1)(n+2)]/3
【例3】1/(1×4)+1/(4×7)+1/(7×10)+……+1/(91×94)使用裂項公式將每個分式展開成兩個分數。
原式=1/3 *[(1-1/4)+(1/4-1/7)+(1/7-1/10)+……+(1/91-1/94)]=1/3*(1-1/94)=31/94
裂項法小結
此類變形的特點是將原數列每一項拆為兩項之後,其中中間的大部分項都互相抵消了。只剩下有限的幾項。
注意: 餘下的項具有如下的特點
1餘下的項前後的位置前後是對稱的。
2餘下的項前後的正負性是相反的。
易錯點:注意檢查裂項後式子和原式是否相等,典型錯誤如:1/(3×5)=1/3-1/5(等式右邊應當除以2)
附:數列求和的常用方法:
1、分組法求數列的和:如aₙ=2n+3n
2、錯位相減法求和:如aₙ=n·2^n
3、裂項法求和:如aₙ=1/n(n+1)
4、倒序相加法求和:如aₙ= n
5、求數列的最大、最小項的方法:
① aₙ+1-aₙ=…… 如aₙ= -2n2+29n-3
② (aₙ>0) 如aₙ=
③ aₙ=f(n) 研究函數f(n)的增減性 如aₙ= an^2+bn+c(a≠0)
(2)當 a₁<0,d>0時, 滿足{aₙ}的項數m使得Sₘ取最小值.
7、對於1/n+1/(n+1)+1/(n+2)……+1/(n+n)的算式同樣適用。