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虛數單位
鎖定
虛數單位來源
虛數單位“i”首先為瑞士數學家歐拉所創用,到德國數學家高斯提倡才普遍使用。高斯第一個引進術語“複數”並記作a+bi。“虛數”一詞首先由笛卡爾提出。早在1800年就有人用(a,b)點來表示a+bi,他們可能是柯蒂斯、棣莫佛、歐拉以及範德蒙。把a+bi用向量表示的最早的是挪威人卡斯巴·魏塞爾,並且由他第一個給出複數的向量運算法則。“i”這個符號來源於法文imkginaire——“虛”的第一個字母,不是來源於英文imaginarynumber(或imaginaryquautity)。複數集C來源於英文complexnumber(複數)一詞的第一個字母。
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虛數單位定義
引進一個新數i,叫做虛數單位,並規定:
(1)它的平方等於-1,即i²=-1.
(2)實數可以與它進行四則運算。進行四則運算時,原有的加法、乘法運算律仍然成立。
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所以虛數單位同樣可以表示為:
由於實數的平方絕不可能是負數,我們假設有這麼一個數目解答,給它設定一個符號i。很重要的一點是,i是一個自定義的數學構造。
虛數單位有時記為
。但是,使用這種記法時需要非常謹慎,這是因為有些在實數範圍內成立的公式在複數範圍內並不成立。
公式
僅對於非負的實數才成立。
虛數單位性質
虛數單位基本性質
一般地,有以下的公式:
虛數單位i與-i
方程
有兩個不同的解,它們都是有效的,且互為共軛複數。更加確切地,一旦固定了方程的一個解i,那麼−i(不等於i)也是一個解,由於這個方程是唯一的定義,因此這個定義表面上有歧義。然而,只要把其中一個解選定,並固定為i,那麼實際上是沒有歧義的。這是因為,雖然−i和i在數量上不是相等的(它們是一對共軛虛數),但是i和−i之間沒有質量上的區別(−1和+1就不是這樣的)。如果所有的數學書和出版物都把虛數或複數中的+i換成−i,而把−i換成−(−i) = +i,那麼所有的事實和定理都依然是正確的。
虛數單位i的運算
平方根
以i為底的對數
餘弦
正弦
- 參考資料
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- 1. 高希堯編.數學術語詳解詞典:陝西科學技術出版社,1991年07月
- 2. 劉鵬編著.數學王國中的未解難題:現代出版社,2012.07
- 3. 劉申有,林而立,劉秀卿,張建平編著.中華萬有文庫 教育卷·工具書 中學代數詞典:中國人民公安大學出版社,1998.04
- 4. 虛數單位的英文 .海詞[引用日期2021-11-29]