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緊緻集
鎖定
- 中文名
- 緊緻集
- 外文名
- compact set
- 別 名
- 緊集
- 概 述
- 任意開覆蓋包含有限開覆蓋
- 本 質
- 拓撲空間中的集合
- 相關概念
- 列緊
- 學 科
- 數學
緊緻集定義
緊緻集開覆蓋
定義1 設X為非空集,{Aα}是X中的一族子集,
,如果
注:1)如果{Aα}中任意有限個集合之交非空,則稱{Aα}具有有限交性質。
緊緻集緊緻集(緊集)
緊緻集局部緊
定義3 拓撲空間X稱為局部緊的,是指X中每一點都有閉包為緊的鄰域。
緊緻集性質
證明:設A 為Hausdorff空間X中的緊集,今證
. 若不然,必有A的聚點x0,x0∉A. 利用Hausdorff分離性,對任何x∈A,必有x的鄰域Ux和x0的鄰域U'x,使Ux∩U'x=∅. 顯然,{Ux|x∈A}是A的一個開覆蓋。根據A 的緊性,存在它的一個有限子覆蓋,設為{Uxi| i=1,2,...,n}. 記
證明:設A 是拓撲空間X中的緊集,B是其閉子集,設{Fα}為閉子集族,且{Fα∩B}具有有限交性質。注意到(Fα∩B)∩A=Fα∩B,對閉子集族{Fα∩B}而言,{(Fα∩B)∩A}具有有限交性質。由A的緊性,利用下面的定理1,得:(∩αFα)∩B=[∩α(Fα∩B)]∩A≠∅,因而B是緊集。證畢。
緊緻集證明緊集的方法
注:1)定理1-3的證明見參考文獻[2]的19-27頁。
緊緻集常用結論及拓展
證明:證明見參考文獻[2]的28頁。
利用定理4的結論,不難證得:若E是無限維的Banach空間,I:E→E為恆等算子,則I不是緊算子。
2.記緊空間X上的連續函數全體為C(X),對f∈C(X),記
3.設X是緊距離空間,
,可利用Arzela-Ascoli定理來證明M的列緊性。
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