立方數

第n個數的立方數指可以寫成n³的數，當中n必為整數。立方數是邊長n的立方體的體積。作為算術用語的“立方”，表示任何數n的三次冪。

畢達哥拉斯把立方數擺成一種“馨折形”的數。他先在正方形格子裏放上石子，放的方法是最上面一行和最左邊一列都按1、2、3、……來放石子。其他空格中的石子數，等於對應的最上面一行和最左邊一列兩格石子數的積。然後把正方形格分割成若干個拐角形，這種拐角形就叫“馨折形”。

他發現，每一個馨折形中所有數的和一定是一個立方數：

1³=1

2³=2+4+2

3³=3+6+9+6+3

……

上面整理得：

1³=1×1

2³=2×(1+2+1)

3³=3×(1+2+3+2+1)

4³=4×(1+2+3+4+3+2+1)

……

n³=n×[1+2+3+4+…+n+1+2+3+4+...+(n-1)]

立方數與連續奇數和

1³=1

2³=3+5

3³=7+9+11

4³=13+15+17+19

8³=57+59+61+63+65+67+69+71

上面整理得：

1²=1; +0*1

2²=1+3; +1*2

3²=1+3+5; +2*3

4²=1+3+5+7; +3*4

……

n²=1+3+5+7+…+(2n-1) +(n-1)n

如果一個立方數等於三個立方數之和，那麼它們組成的系統就是完美立方數

譬如下面的第二行

3²+4²=5²

3³+4³+5³=6³

2⁴+2⁴+3⁴+4⁴+4⁴=5⁴

4⁵+5⁵+6⁵+7⁵+9⁵+11⁵=12⁵

半立方數為一個立方數的一半。

譬如6³=216 半立方=108

兩個立方數的和不可能為一立方數；

宇宙只存在一個數26,他是夾在一個平方數[25是5的平方]與一個立方數中間[27是3的立方]；

立方質數的定義為

，其中x=y+1或x=y+2

1、五角數中僅有立方數1 ^[1]  ；

2、和平方數不同，立方數可存在負數；

3、雖然形狀不同，每個立方數第n個立方數同時都是第n個六角錐數，即首n個中心六邊形數之和。

4、首n個正立方數之和為

，即第n個三角形數的平方。

5、每個整數均可表示成9個或以下的正立方數之和。（華林問題）

6、1939年，狄克森證明只有23和239須用9個正立方數。

7、只有一組連續三個立方數之和亦是立方數，就是3, 4, 5的立方，其和等於6的立方。

8、在十進制，除了1之外，僅有4個的正整數其數字立方之和等同它本身，它們為153, 370, 371, 407，他們是n = 3的自戀數。這4個三位數，亦可視為將它的數字分成三份，每份的立方之和，相似性質的整數有無限個，如165033, 221859, 336700等。