馨折形

馨折形

最早把自然數和幾何圖形聯繫在一起的,也是畢達哥拉斯.畢達哥拉斯把數描繪成沙灘上的小石子,又按小石子所能排列的形狀,把自然數與正三角形,正方形,正五邊形……等圖形聯繫起來,將數分為三角數,正方形數,五角數……

畢達哥拉斯發現,當小石子的數目是1,3,6,10等數時,小石子都能擺成正三角形,他把這些數叫做三角形數;當小石子的數目是1,4,9,16等數時,小石子都能擺成正方形,他把這些數叫做正方形數;當小石子的數目是1,5,12,22等數時,小石子都能擺成正五邊形,他把這些數叫做五邊形數……

畢達哥拉斯還擺出了其他多邊形數.有趣的是,他還進一步發現了各種"形數"之間的內在聯繫.比如,每個大於1的正方形數都可以表示成兩個相鄰的三角形數的和.

反過來,任意兩個相鄰的三角形數相加,必然是一個正方形數,也就是平方數.

這從下面的圖形中可以得到證實.

畢達哥拉斯藉助生動的幾何直觀還發現,第n個三角形數等於1+2+…人們就可以寫出很多很多的形數了.

不過,畢達哥拉斯並不因此而滿足.譬如三角形數,需要一個數一個數地相加,才能算出一個新的三角形數.畢達哥拉斯認為這太麻煩了,於是着手去尋找一種簡捷的計算方法.經過深入探索自然數的內在規律,他又發現,

這是一個重要的數學公式,有了它,計算連續自然數的和可就方便多了.

畢達哥拉斯還擺成一種"馨折形"的數.他先在正方形格子裏放上石子,放的方法是最上面一行和最左邊一列都按1,2,3,……來放石子.其他空格中的石子數,等於對應的最上面一行和最左邊一列兩格石子數的積.然後把正方形格分割成若干個拐角形,這種拐角形就叫"馨折形".

他發現,每一個馨折形中所有數的和一定是一個立方數:

2+4+2=8=2³,

3+6+9+6+3=27=3³.

公元前6世紀,還沒有紙.用小石子來研究數的性質,又方便又直觀,這真是古希臘人的一種創造!也是認識數的一種有趣方法.英語中的"計算"(calculation)一詞來源於拉丁字"calculus",是小石子的意思.