理性力學

發展階段可分下列四個時期：

牛頓的《自然哲學的數學原理》(1687)一書可看作是理性力學的第一部著作。從牛頓三定律出發可演繹出力學運動的全部主要性質。另一位理性力學先驅是瑞士的雅各布第一·伯努利。他最早從事變形體力學的研究，推導出沿長度受任意載荷的弦的平衡方程(1691～1704)。通過實驗，他發現弦的伸長和張力並不滿足線性的胡克定律，並且認為線性關係不能作為物性的普遍規律。法國科學家J.le R.達朗伯於1743年提出：①理性力學必須像幾何學那樣建立在顯然正確的公理上；②力學的結論都應有數學證明。這便是理性力學的框架。1788年法國科學家J.-L.拉格朗日創立了分析力學，其中許多內容是符合達朗伯框架的。經過相當長的時間，變形體力學的一些基本概念，如應力、應變等才逐漸建立起來。1822年法國A.-L.柯西提出的接觸力可用應力矢量表達的“應力原理”一直是連續介質力學的最基本假定。1894年J.芬格建立了超彈性體的有限變形理論。關於有向連續介質（見廣義連續介質力學）的猜想是W·佛克脱(1887)和P.迪昂(1893)提出的，其理論則是由法國科學家E.科瑟拉和F.科瑟拉兄弟在1909年建立的。1900年著名德國數學家D.希耳伯特在巴黎國際數學大會上提出的23個問題中的第6個問題就是關於物理學(特別是力學)的公理化問題。1908年以來，G.K.W.哈茂耳重提此事，但當時只限於一般力學的範圍。

約從20世紀初到1945年。這段時期形成了以從事線性力學及其相關數學的研究為主的局面。線性理論充分發揮了它解釋力學現象和解決工程技術問題的能力並使與之相關的數學也發展到相當完善的地步。相形之下，非線性理論的研究沒有多大進展，理性力學也因此處於停滯時期。

從1945年起，理性力學又復興。復興不是簡單的重複，而是達朗伯框架在連續介質力學方面的進一步發展。巨大變化是由1945年M.賴納和1948年R.S.裏夫林的工作引起的。賴納的工作是研究非線性粘性流體的。過去長期不得解決的所謂油漆攪拌器效率不高的問題因為有了這個非線性粘性流體理論而真相大白。裏夫林的工作是在任意形式的貯能函數下對於等體積變形的不可壓縮彈性體給出了幾個簡單而又重要問題的精確解。用這個理論解釋橡膠製品的特性取得驚人的成功。這是因為對於橡膠這類材料，在變形中體積變化甚微，實際上可以認為是不可壓縮的緣故。另外，過去得不到解決的“柱體扭轉時為什麼會伸長”的問題也自然獲得解決。這兩個工作揭開了理性力學復興的序幕。

J.G.奧爾德羅伊德1950年提出本構關係必須具有確定的不變性。這個思想後來就發展成為客觀性原理。積極提倡復興理性力學的主要代表人物、美國科學家C.特魯斯德爾於1952年開始主編《理性力學和分析雜誌》（J.Rational Mech.Anal.），1957年雜誌改名為《理性力學和分析文集》(Arch.Rational Mech.Anal.)。在他的倡導下，一批數學和力學工作者系統地開展了理性力學的研究。1953年特魯斯德爾提出低彈性體的概念。同年，J.L.埃裏克森發表了各向同性不可壓縮彈性物質中波的傳播理論。

1956年以來，R.A.圖平關於彈性電介質的系統研究為電磁連續介質理論的發展打下了基礎。1957年T.Y.托馬斯關於奇異面的研究是另一重大進展。1957年W.諾爾首先提出純力學物質理論的公理化問題，次年，他發表了連續介質的力學行為的數學理論。這便是簡單物質的公理體系的雛型，後來逐漸發展成為簡單物質譜系。1958年埃裏克森和特魯斯德爾提出的杆和殼中應力和應變的準確理論，德國學者W.金特爾關於科瑟拉連續統的靜力學和運動學的論文引起了對有向物體理論的重新認識和系統研究。1959年B.D.科勒曼和諾爾建立了連續介質熱力學的一般理論。1960年特魯斯德爾和圖平所著《古典場論》以及1965年特魯斯德爾和諾爾所著《力學的非線性場論》兩書概括了以前有關理性力學的全部主要成果，是理性力學的兩部經典著作。這兩部書的出版標誌着理性力學復興時期的結束。

1966年以來，理性力學進入發展時期。它的發展是和當代科學技術發展的總趨勢相呼應的。這個時期的特點是理性力學本身不斷向深度和廣度發展，同時又與其他學科相互滲透，相互促進。理性力學的發展主要涉及五個方面：①公理體系和數學演繹；②非線性理論問題及其解析和數值解法；③解的存在性和唯一性問題；④古典連續介質理論的推廣和擴充以及⑤與其他學科的結合。 ^[1] 

理性力學主要包括以下幾個內容：

研究連續介質的宏觀力學行為。連續介質力學用統一的觀點來研究固體和流體的力學問題。因此也有人把連續介質力學狹義地理解為理性力學。客觀上，連續介質力學已經分成為以研究線性連續介質理論為主的古典連續介質力學和以研究非線性連續介質理論為主的近代連續介質力學。而近代連續介質力學又可分為按理性力學的觀點和方法研究連續介質理論的理性連續介質力學和把連續介質力學和電子計算機結合起來的計算連續介質力學。

主要研究非極性物質的純力學現象。諾爾提出的純力學物質理論的公理體系由原始元、基本定律和本構關係三部分組成。1960年科勒曼和諾爾提出減退記憶原理。在這個公理體系下，對純力學物質進行研究並給出各類物質的譜系是純力學物質理論的中心課題。純力學物質研究得比較充分，尤其是簡單物質理論已形成相當完整的體系，這是理性力學中最成功的一部分。

用統一的觀點和方法研究連續介質中的力學和熱學的耦合作用（見熱力物質理論）。1966年以來逐漸形成熱力物質理論的公理體系。這個公理體系也是由原始元、基本定律和本構關係三部分組成，但其內容比純力學物質理論更為廣泛。熱彈性固體和熱粘性流體物質是熱力物質理論中研究得比較系統的兩大類特殊物質。到為止還沒有一個公認的完整的熱力物質理論，它正在各派學者的爭論中發展並不斷完善。

按連續統的觀點研究電磁場與連續介質的相互作用。由於現代科學技術發展的客觀需要，電磁連續介質理論的研究越來越受到重視，已成為現代連續介質力學的重要發展方向之一。

研究由兩種以上包括固體和流體形式物質組成的混合物的有關物理現象。混合物理論可以用來研究擴散現象、多孔介質、化學反應介質等問題。

研究波在連續介質中傳播的一般理論和計算方法。連續介質波動理論把任何以有限速度通過連續介質傳播的擾動都看做是“波”，所以研究的內容是相當廣泛的。在連續介質波動理論中，奇異面理論佔有十分重要的地位。奇異面是按照運動或其某些導數在該面上所經受的間斷性的階數來分類的。傳播着的一階奇異面稱為激波，傳播着的二階奇異面稱為加速度波。類似地可定義更高階的波，但到為止，研究尚少。

從有向物質點連續介質理論發展起來的連續介質力學。廣義連續介質力學現在包括極性連續介質力學、非局部連續介質力學和非局部極性連續介質力學。極性連續介質力學主要研究微態固體和微態流體，特別是微極彈性固體和微極流體而非局部連續介質力學則主要研究非局部彈性固體和非局部流體。由於非局部極性連續介質力學是極性連續力學和非局部連續介質力學的結合，所以它的主要研究對象是非局部微極彈性固體和非局部微極流體。20世紀70年代以來，廣義連續介質力學內容在不斷擴充並已發展成為廣義連續統場論。

不滿足協調方程的連續統的理論。古典理論要求滿足協調方程，但在有位錯或內應力存在的物體中協調方程不再滿足。對連續位錯理論必須引入非協調的概念。這種非協調理論宜用微分幾何方法來描述。一般説來，存在位錯的空間是有撓率的嘉當空間。撓率可以描述位錯的密度。最近又開展了連續旋錯理論的研究。把非協調理論和有向物體理論統一起來是一個研究課題，但還未得到完整的結果。

從相對論觀點出發研究連續介質的運動學、動力學、熱動力學和電動力學等問題。

^[2-8]  除上述的分支和理論外，理性力學還研究非線性連續介質理論的解析或數值方法以及同其他學科相交叉的問題。

理性力學來源於傳統的分析力學、固體力學、流體力學、熱力學和連續介質力學等力學分支，並同這些力學分支結合，出現了理性彈性力學、理性熱力學、理性連續介質力學等理性力學的新興分支。理性力學就是這樣從特殊到一般，再從一般到特殊地發展着。理性力學除了同傳統的各力學分支互相捉進外，還同數學、物理學以及其他學科密切相關。