幺半羣

設<B,◻,e>為幺半範疇，則B的幺半羣c為B的對象，且附以兩個態射μ:c◻c→c，η:e→c，滿足

結合律μ∘1◻μ=μ∘μ◻1∘α與單位律μ∘η◻1=λ, μ∘1◻η=ρ。 ^[5] 

幺半範疇<Set,×,1>的幺半羣為通常的幺半羣（羣論中的幺半羣）。 ^[5] 

幺半羣可視之為一類特殊的範疇。幺半羣運算滿足的公理同於範疇中從一個對象到自身的態射。換言之：

幺半羣實質上是隻有單個對象的範疇。

精確地説，給定一個幺半羣（M,*），可構造一個只有單個對象的小范疇，使得其態射由M的元素給出，而其合成則由幺半羣的運算*給出。

同理，幺半羣之間的同態不外是這些範疇間的函子。就此意義來説，範疇論可視為是幺半羣概念的延伸。許多關於幺半羣的定義及定理皆可推廣至小范疇。

幺半羣一如其它代數結構，本身也形成一個範疇，記作Mon，其對象是幺半羣而態射是幺半羣的同態。

範疇論中也有幺半對象的概念，它抽象地定義了何謂一個範疇中的幺半羣。 ^[3] 

幺半羣是一個存在單位元（幺元）的半羣。

即，考慮定義了二元運算

（注意這裏藴含了S對運算

封閉）的非空集合S，若滿足如下公理：

結合律：

，有

單位元：

，使

，有

則三元組

稱為幺半羣。

設

是幺半羣，若運算

還滿足交換律，則

稱為交換幺半羣或阿貝爾（Abel）幺半羣。交換幺半羣經常會將運算寫成加號。

設

是幺半羣，對

可以定義其非負次冪為：

，

以及對

，

（n次自乘）。

設

是幺半羣，考慮其子集M。若

，且M對運算

封閉，則易驗證，

也是幺半羣。稱為子幺半羣。

等價地，子幺半羣是一個子集 N ，其中 N=N ，且上標 * 為克萊尼星號。對任一於 M 內的子集 N 而言，子幺半羣 N 會是包含着 N 的最小幺半羣。

子集 N 被稱之為 M 的生成元，當且僅當 M=N。若 N 是有限的， M 即被稱為是有限生成的。

設

是交換幺半羣，可以以如下方式在其上定義自然代數預序 ≤ ：

，

定義為

，使

。

設

是交換幺半羣，≤是依上述方式定義的自然預序。若

，滿足：

，總

，使

則稱u是S的序單位。

序單位經常用在 M 是偏序阿貝爾羣G 的正錐體的情況。有接受任何交換幺半羣，並把它變成全資格阿貝爾羣的代數構造；這個構造叫做格羅滕迪克羣。

逆元素：一元素x稱為可逆，若存在一元素y，使得x*y = e且y*x = e。此一元素y便稱做x的逆元素。結合律使得其逆元素（

若 y是x的逆元素，則可以定義x的負冪，以x=y及 x=y*...*y （乘上n次），其中n>1。如此冪的規則在所有整數就都成立了，這也是為什麼x的逆元素通常會寫做x。所有在幺半羣M內的可逆元素，和其自身的運算可組成一個羣。在這意思之下，每個幺半羣都含有一個羣。

但並不是每個幺半羣都包含在一個羣內的。例如，絕對可能有一個幺半羣，其兩個元素a和b會有a*b=a的關係，即使b不是單位元。如此的幺半羣是不可能包含於一個羣內的， 因為在羣裏，兩邊一同乘a的逆元素，就會得到b = e的結果，但這不是真的。一個幺半羣（M,*）若具有消去性，即表示對任何在M內的a、b、c，a*b = a*c永遠意指b = c且b*a = c*a也永遠意指b = c。一具有消去性的可交換幺半羣總是可以包含於一個羣內。這是為什麼整數（加法運算下的羣）可以由自然數（具有消去性的加法運算下的可交換幺半羣）建立。但一具有消去性的不可交換幺半羣則一定不可能包含於一個羣之中。

若一幺半羣有消去性且是有限的，它會是一個羣。

一可逆幺半羣為一幺半羣，其任一在M內的a，總存在一唯一在M內的a，使得a=aaa且a=aaa。

一幺半羣G的子幺半羣是G的子集H，其包含有單位元，且若x、y屬於H，則xy屬於H。很清楚地，H本身也是個幺半羣，在G的二元運算之下。 ^[1] 

若幺半羣中的一個元同時有左逆元與右逆元，則這左逆元等於右逆元。 ^[4] 

幺半羣同餘是相容於幺半羣乘積的等價關係。就是説它是子集

使得它是自反的、對稱的和傳遞的（如同所有等價關係必須的那樣），還要有如果 且 對於所有 M 中的 x,y,u 和 v，則有 的性質。

幺半羣同餘引發同餘類

而幺半羣運算 * 引發在同餘類上的二元運算 :

它是幺半羣同態。它明顯的也是結合的，所以所有同餘類的集合也是幺半羣。這個幺半羣叫做商幺半羣，可以寫為

一些額外的符號是公用的。給定子集 ，寫

對於引發自 L 的同餘類的集合。在這個表示法中，明顯的。但是一般的説， 不是幺半羣。走相反的方向，如果 是商幺半羣的子集，寫

當然這只是 X 的成員的並集。一般的説， 不是幺半羣。

明顯的有 且。

兩個幺半羣（M,*）和（M′，@）之間的同態是一個函數f : M → M′，會有如下兩個性質：

f(x*y) = f(x)@f(y) 對所有在M內的x和yf(e) = e′ 其中e和e′分別是M和M′的單位元。

不是每一個羣胚同態都會是個幺半羣同態，因為它不一定會維持單位元。和上述不同，羣同態的情況則會成立：羣論的公理確保每一兩羣之間的羣胚同態都會維持住單位元。對於幺半羣，這不是永遠成立的，而必須有另外的要求。

雙射幺半羣同態稱做幺半羣同構。

每一個單元素集合{x}都可給出一個單元素（當然）幺半羣。對定固的x，其幺半羣是唯一的，當其幺半羣公理在此例子必須滿足x*x=x時。

每一個羣都是幺半羣，且每一個阿貝爾羣都是可交換幺半羣。

每一半格都是等冪可交換幺半羣。

任一個半羣S都可以變成幺半羣，簡單地加上一不在S內的元素e，並定義ee=e和對任一在S內的s，es=s=se。

自然數N是加法及乘法上的可交換幺半羣。

以加法或乘法為運算，任何單作環的元素

以加法或乘法為運算的整數、有理數、實數及複數

以矩陣加法或矩陣乘法為運算，所有於一環內n×n矩陣所組成的集合

某些固定字母Σ的有限字符串所組成的集合，會是個以字符串串接為運算的幺半羣。空字符串當成單位元。這個幺半羣標記為Σ*，並稱為在Σ內的自由幺半羣。

給定一幺半羣M，並考慮包含其所有子集的冪集P（M）。這些子集的二元運算可以定義成S*T={s*t:s在S內且t在T內}。這使得P（M）變成了具有單位元{e}的幺半羣。依同樣的方法，一個羣的冪集是一在羣子集的乘積下的幺半羣。

設S為一集合。由所有函數S→S所組成的集合會是在複合函數下的幺半羣。其單位元為恆等函數。若S為有限的且有n個元素，其幺半羣也會是有限的，且有nn個元素。

廣義化上述的例子，設C為一範疇且X為C內的一對象。由X所有自同態組成的集合，標記為EndC（X），是一在態射覆合下的幺半羣。更多有關範疇論和幺半羣的關係請見下述。

在連通和下的閉流形同態類所組成的集合，其單位元為一般二維球面類。此外，當a標記為環面類且b標記為射影平面類，此一幺半羣的每一個元素c都會有一唯一的表示式c=na+mb，其中n是大於等於零的整數，m為0、1或2，且會有3b=a+b。

設；是一個數為n的循環幺半羣，亦即={f0,f1,..,fn−1}。然後，fn=fk，其中。事實上，不同的k會給出不同的幺半羣，且每個幺半羣都會和另一個同構。 ^[2] 

注意當k=0時，函數f是{0,1,2,..,n−1}的置換，並給出個數為n的唯一循環羣。

主條目：幺半羣作用

算子幺半羣是一作用在集合X上的幺半羣M。亦即，存在一運算$:M×X→X符合幺半羣的運算。

對任一在X內的x：e$x=x。

對任何在M內的a、b及在X內的x：a$(b$x)=(a*b)$x。）=(a*b）·x.

運算子幺半羣也叫做作用（因為它們類似於羣作用），轉移系統，半自動機或變換半羣。

最簡單、最自然的一類代數系統。一個非空集合S連同定義在它上面的一個結合的(即滿足結合律的)二元運算“·”的代數系統(S，·)稱為一個半羣。半羣(S，·)簡記為S。

半羣是羣的推廣。羣自然是半羣；反之顯然未必。半羣也是環的推廣。環在只考慮它的乘法運算的時候是一個半羣，稱為環的乘半羣；但任何一個帶零半羣卻未必是某個環的乘半羣。半羣代數理論的系統研究始於20世紀50年代(雖然，這方面的工作可追溯到1904年蘇士凱維奇(Suschkwitz，A.K.)關於有限半羣的論文)。在數學內部和外部的巨大推動下，半羣理論已成為代數學的一個公認的分支學科，並早已以其特有的方法獨立於羣論和環論之外。在20世紀60年代，蘇聯和美國率先出版了兩本專著，利雅平(Ляпин，E.C.)的《半羣》和克利福德(Clifford，A.H.)與普雷斯頓(Preston，G.B.)的兩卷《半羣代數理論》，這對半羣代數理論的發展，在國際上起了巨大的推動作用.由德國斯普林格出版社出版的《半羣論壇》更是有關半羣理論的一個重要的國際性專門刊物。許多數學家在世界各地開展半羣理論的研究和各層次高級人才的培養(直到博士後).半羣代數理論是半羣理論中最基本、最活躍、也最富成果的一部分.此外，尚有半羣的分析、拓撲和序理論。