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牛頓定理
鎖定
一般指平面幾何中的牛頓定理（Newton's Theorem）
- 中文名
- 牛頓定理
- 外文名
- Newton's Theorem
- 提出者
- 艾薩克·牛頓
- 適用領域
- 平面幾何
- 應用學科
- 數學
牛頓定理定理1
完全四邊形三條對角線中點共線。
牛頓定理證明方法1
圖_牛頓定理1 證明圖(1張)
取BE中點P，BC中點R，設
，
∵RL、LQ分別是△ABC、△ACE中位線，A、B、E三點共線，
∴R，L、Q共線；QL//AE且
，LR//AB且
，
∴
①。
同理可證：
M、R、P共線，
由題意知：N、P、Q共線，
①×②×③，得：
由梅涅勞斯定理，得：
由梅涅勞斯定理的逆定理知：
L、M、N三點共線。
證畢。
故牛頓定理1成立。
牛頓定理證明方法2
圖1牛頓定理1仿射證明法
牛頓定理定理2
牛頓定理證明方法一
要想證明定理成立，只需證EI過點F，即只需證△BEI與△DEI面積相等。
顯然，
①，
而
②。
注意兩個式子，由四邊形ABCD外切於⊙I，
有
，
，
。
即
，
移項得
，
由E是AC中點，
因此，有
，
故
，
由①、②式，得：
而F是BD的中點，由共邊比例定理，EI過點F即EF過點I，故結論成立。
證畢。
牛頓定理證明方法二
如圖，設四邊形ABCD的內切圓圓心為O，AC的中點為M，BD的中點為N。
設AB的延長線和DC的延長線交於點E，過O作與OE垂直的XY交AB於X，交CD於Y。
因此有
，
∴
。
同理可證，
。
於是，
（這裏的相似是兩條線段間的相似，X分AB的比等於Y分CD的比）。
注意到兩個相似圖形對應頂點的連線的中點，構成的圖形與原來兩個圖型相似，則有MON構成線段，且有
。
牛頓定理定理3
證明：
首先證明，直線AC、EG、FH交於一點。設EG、FH分別交AC於點I、I'。
顯然
（弦切角），
牛頓定理3的證明圖
故
。
同樣可證：
又
故
。
從而I、I'重合，即直線AC、EG、FH交於一點。
同理可證：直線BD、EG、FH交於一點。
因此直線AC、BD、EG、FH交於一點。
證畢。
