完全四邊形

兩兩相交又沒有三線共點的四條直線及它們的六個交點所構成的圖形，叫做完全四邊形。

如圖一，直線ABC、BDE、CDF、AFE兩兩相交於A、B、C、D、E、F六點，即為完全四邊形ABCDEF。

圖形中包含了凸四邊形、凹四邊形、還有折四邊形以及四個三角形。如圖一中有凸四邊形ABDF、凹四邊形ACDE、還有折四邊形BCFE，以及四個三角形△ACF、△BCD、△DEF、△ABE。

設A、B、C、D是位於同一平面上的四個點，其中任何三點都不共線，則由六條線段AB、CD、AC、BD、AD、BC所構成的圖形，稱為完全四角形。這四個點稱為完全四角形的頂點，而這六條線段稱為完全四角形的邊。不通過同一頂點的三組邊AB與CD，AD與BC，AC與BD，稱為對邊；對邊的交點P、Q、R稱為對角點；以對角點為頂點的三角形，稱為對角三角形。在完全四角形中，通過兩個對角點的直線與不通過這兩個對角點的一組對邊的交點，同所給兩個對角點一起構成一個調和點列。基於上述事實，當在直線上給定兩個點P、R時，就能作出該直線上任意點X關於點P、R的調和共軛點Y。作圖方法如下：

(1)任取不在直線PR上的點A。

(2)引直線AP、AR、AX。

(3)在AP上任取點B，引直線BR，設BR與AX的交點為C。

(4)設直線PC與AR的交點為D。

(5)作直線BD與PR的交點Y。Y就X關於點P、R的調和共軛點。 ^[2] 

1.完全四邊形的一條對角線被其他兩條對角線調和分割(兩點內分與外分間一線段成同一比值，稱這兩點調和分割這一線段)。

2.過完全四邊形對角線所在直線的交點作另一條對角線的平行線，所作直線與平行對角線的同一端點所在的邊(或其延長線)相交，所得線段被此對角線所在直線的交點平分。

3.在完全四邊形ABCDEF中，四邊形ABDF有內切圓的充分必要條件是△ACD與△ADE的內切圓相外切。

4.完全四邊形ABCDEF的三條對角線AD、BF、CE的中點M、N、P共線（即牛頓線）。

5.完全四邊形的三條對角線為直徑的圓共軸，且完全四邊形的四個三角形的垂心在這條軸上。

6.完全四邊形的垂足線與牛頓線垂直(兩圓連心線垂直於公共弦)。

7.完全四邊形的四個三角形的外接圓圓心共圓．這四個圓心每三個構成的三角形的垂心分別在構成完全四邊形的四條直線上，且這四個垂心為頂點構成的四邊形與四個圓心為頂點構成的四邊形全等。 ^[3] 

8.在完全四邊形ABCDEF中，四邊形ABDF(在∠BAF內)有旁切圓的充分必要條件是下列兩條件之一：

1)AB+BD=AF+FD；2)AC+CD=AE+ED。 ^[4]