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牛頓定理
鎖定
一般指平面幾何中的牛頓定理(Newton's Theorem)
- 中文名
- 牛頓定理
- 外文名
- Newton's Theorem
- 提出者
- 艾薩克·牛頓
- 適用領域
- 平面幾何
- 應用學科
- 數學
牛頓定理定理1
完全四邊形三條對角線中點共線。
牛頓定理證明方法1
圖_牛頓定理1 證明圖(1張)
取BE中點P,BC中點R,設
,
∵RL、LQ分別是△ABC、△ACE中位線,A、B、E三點共線,
∴R,L、Q共線;QL//AE且
,LR//AB且
,
∴
①。
同理可證:
M、R、P共線,
由題意知:N、P、Q共線,
①×②×③,得:
由梅涅勞斯定理,得:
由梅涅勞斯定理的逆定理知:
L、M、N三點共線。
證畢。
故牛頓定理1成立。
牛頓定理證明方法2
如圖1,圖1中左圖為當完全四邊形中AE⊥BF,AF⊥DE時,由直角三角形斜邊中線等於斜邊一半推得紅、綠三角形全等(SSS),則完全四邊形對角線中點M、P所在直線平分BD,即M、N、P共線,將其仿射為一般形式即證牛頓定理1。
牛頓定理定理2
牛頓定理證明方法一
要想證明定理成立,只需證EI過點F,即只需證△BEI與△DEI面積相等。
顯然,
①,
而
②。
注意兩個式子,由四邊形ABCD外切於⊙I,
有
,
,
。
即
,
移項得
,
由E是AC中點,
因此,有
,
故
,
由①、②式,得:
而F是BD的中點,由共邊比例定理,EI過點F即EF過點I,故結論成立。
證畢。
牛頓定理證明方法二
如圖,設四邊形ABCD的內切圓圓心為O,AC的中點為M,BD的中點為N。
設AB的延長線和DC的延長線交於點E,過O作與OE垂直的XY交AB於X,交CD於Y。
因此有
,
∴
。
同理可證,
。
於是,
(這裏的相似是兩條線段間的相似,X分AB的比等於Y分CD的比)。
注意到兩個相似圖形對應頂點的連線的中點,構成的圖形與原來兩個圖型相似,則有MON構成線段,且有
。
牛頓定理定理3
證明:
首先證明,直線AC、EG、FH交於一點。設EG、FH分別交AC於點I、I'。
顯然
(弦切角),
故
。
同樣可證:
又
故
。
從而I、I'重合,即直線AC、EG、FH交於一點。
同理可證:直線BD、EG、FH交於一點。
因此直線AC、BD、EG、FH交於一點。
證畢。