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無旋場
鎖定
無旋場,別名無旋向量場,有兩個密切相關的概念:路徑無關和無旋向量場。任何一個保守向量場的旋度都是零(因此是無旋的),也具有路徑無關的性質。
- 中文名
- 無旋場
- 外文名
- irrotational field
- 別 名
- 無旋向量場
無旋場保守向量場
無旋場定義
一個向量場
稱為保守的,如果存在一個標量場
,使得:
向量分析基本定理表明,任何一個向量場都可以表示為一個保守向量場和一個螺線向量場的和。
無旋場路徑無關
保守向量場的一個重要性質是它沿着一條路徑的積分只與起點和終點有關,與路徑無關。假設
是三維空間內的一個區域,P是S內的一個可求長路徑,其起點為A,終點為B。如果
是保守向量場,那麼:
一個等價的表述是,對於S內的所有閉合路徑,都有:
定理
向量場F為無旋場的充要條件是存在可微函數u(x,y,z),使得gradu = F並稱函數u(x,y,z)為向量場F的勢函數(簡稱勢)。
無旋場無旋向量場
向量場
是無旋的,如果它的旋度是零,也就是説:
由於這個原因,這種向量場有時稱為無旋向量場。
對於任何標量場
,都有:
因此保守向量場都是無旋向量場。
只要S是單連通區域,它的逆命題也是成立的:每一個無旋向量場也都是保守向量場。
如果S不是單連通的,則逆命題不成立。設S為去掉z軸的三維空間,也就是
。現在,我們定義以下的向量場:
更加抽象地,保守向量場是恰當1-形式。也就是説,它是一個1-形式,等於某個0-形式(標量場)
的外導數。一個無旋向量場是閉合1-形式。由於d= 0,任何正合形式都是閉合的,因此任何保守向量場都是無旋的。定義域是單連通的,當且僅當它的第一個同調羣為零,或第一個上同調羣為零。第一個德拉姆上同調羣
是零,當且僅當所有閉合1-形式都是恰當的。
[2]
無旋場無旋流動
流體的流速
是向量場,它的渦度
通常由以下公式定義:
無旋場參見
- 螺線向量場
- 亥姆霍茲分解