概週期函數

在數學中，概週期函數（或殆週期函數）是一類有近似於週期性質的函數，是連續週期函數的推廣。不同的週期函數由於週期不盡相同，其和、差或乘積不一定再是週期函數。概週期函數儘管未必有嚴格的週期性，但可擁有一些比周期函數更好的性質。這一概念首先於1925年被丹麥數學家哈那德·玻爾引進，後來赫曼·外爾、貝西科維奇等人也有研究和推廣。貝西科維奇因概週期函數方面的貢獻獲得了1931年劍橋大學的亞當斯獎。 ^[1] 

概週期函數有若干個等價定義。根據哈那德·玻爾引進的分析學上的定義，一個定義域在實數域上的連續函數f如果滿足：對任意正實數

，都存在實數

，使得任意長度為

的區間裏至少存在一個數 t，使得對於任意的

，都有：

在高維歐幾里得空間中，也可以定義類似的概週期向量函數。

按照定義，所有周期函數都是概週期函數。

值域在複平面上的概週期函數與三角多項式函數有密切關係。哈那德·玻爾首先注意到這類型的函數是在研究有限項狄利克雷級數的時候。當把黎曼ζ函數：ζ(s) 截出有限項後，得到的是一些形如

的項。其中的

。如果只考慮複平面上的一條豎直的直線（也就是説固定s的實數部分

，而實數t 在正負無窮大之間變動），那麼實際上每一項變成：

如果只觀察有限個這樣的函數的和（以避免

時的解析開拓的問題），那麼由於對不同的n，

是線性獨立的，這個和不再是一個週期函數。

在相關研究中，哈那德·玻爾開始注意形如：

的三角多項式函數。它是若干個週期互不相同的週期函數

的和。於是概週期函數的另一個定義出現了：如果對每個

，都存在三角多項式函數：

，使得對於任意的

，都有：

可以證明，這個定義與第一個定義是等價的。

考慮若干三角多項式函數：

其中

是複數。每一個

都是週期函數，因此有限個

的和仍然是概週期函數。然而，對於某些和函數，比如説：

f不是週期函數，但仍然是概週期函數。

如同週期函數一樣，任何概週期函數都是有界的, 且一致連續。 ^[2] 

如果f 是概週期函數，那麼對於任意實數a，f(x+a)、 f(ax)、af(x)、 |f(x)|也是概週期函數。

如果 f 和g 都是概週期函數，那麼f+g、f-g和

都是概週期函數。

如果f(x) 是概週期函數，H是f 的值域到R上的一致連續函數，則 H(f(x))也是概週期函數。

如果概週期函數的序列

在實軸上一致收斂於函數f(x) ，則f(x) 也是概週期函數。

如果f(x) 是概週期函數，則f'(x)為概週期函數的充分必要條件是f(x) 的導函數f'(x) 一致連續。

如果f(x) 是概週期函數，

，則F(x)為概週期函數的充要條件為F(x)有界。