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Mellin變換
鎖定
Mellin變換數學定義
函數f的梅林變換是:
這是在複平面上的垂直線上的
線積分。在Mellin反演定理中給出了這種反演有效的條件。這個轉換以
芬蘭數學家Hjalmar Mellin命名。
[1]
Mellin變換與其他變換的關係
我們也可以用梅林變換定義
傅里葉變換,反之亦然。就梅林變換和上面定義的雙邊拉普拉斯變換而言:
梅林變換還通過泊松 - 梅林 - 牛頓循環將
牛頓級數或二項式變換與泊松生成函數連接在一起。梅林變換也可以看作是Gelfand變換的卷積代數的局部緊湊阿貝爾正實數乘法。
[2]
Mellin變換Cahen-Mellin積分
其中
是伽馬函數。這個積分被稱為Cahen-Mellin積分。
[2]
Mellin變換數論
Mellin變換在概率論中
在概率論中,梅林變換是研究隨機變量乘積分佈的必要工具。如果
X是一個隨機變量,和
表示其正面部分,而
是其負部分,則梅林變換的
X被定義為:
概率論的梅林變換的重要性在於,如果X和Y是兩個獨立的隨機變量,然後X、Y的梅林變換的結果是X和Y的梅林變換的乘積
[2]
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Mellin變換應用
梅林變換由於其尺度不變性而被廣泛用於計算機科學分析算法。縮放函數的Mellin變換的幅度與純虛數輸入的原始函數的幅度相同。這種尺度不變性屬性類似於
傅立葉變換的平移不變性。時移函數的傅立葉變換的幅度與原函數的傅立葉變換的幅度相同。
這個屬性在圖像識別中很有用。當物體朝向或遠離相機移動時,物體的圖像很容易被縮放。
在
量子力學尤其是量子場論中,傅立葉空間是非常有用的,並且由於動量和位置是彼此的
傅立葉變換(例如,在動量空間中更容易計算費曼圖),所以被廣泛使用。2011年,A. Liam Fitzpatrick,Jared Kaplan,JoãoPenedones,Suvrat Raju和Balt C. van Rees證明Mellin空間在AdS / CFT通信中起着類似的作用。
[1]
- 參考資料
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1.
Galambos, Janos; Simonelli, Italo (2004). Products of random variables: applications to problems of physics and to arithmetical functions. Marcel Dekker, Inc. ISBN 0-8247-5402-6.
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2.
Paris, R. B.; Kaminski, D. (2001). Asymptotics and Mellin-Barnes Integrals. Cambridge University Press.