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根的分佈

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根的分佈一般指一元二次方程實根分佈問題，是初中數學一元二次函數的基礎內容.
一元二次方程的根實質上對應二次函數圖象與 x 軸的交點橫座標．因此，二次方程的實根分佈問題，可以藉助二次函數圖象，利用數形結合的方法來研究．
中文名
一元二次方程根的分佈
外文名
Distribution of roots of a quadratic equation of one variable
所屬學科
代數

目錄

  1. 1 一元二次方程實根分佈問題
  2. 2 一、區間與區間根的判定
  1. 3 二、一元二次方程根的分佈討論
  2. 4 三、常見問題及解題技巧
  1. 5 四、相關例題
  2. ▪ 基礎訓練
  3. ▪ 綜合應用
  4. ▪ 拓展內容

根的分佈一元二次方程實根分佈問題

一元二次方程的根實質上對應二次函數圖象與
軸的交點橫座標．因此，二次方程的實根分佈問題，可以藉助二次函數圖象，利用數形結合的方法來研究．

根的分佈一、區間與區間根的判定

1. 區間表示某個範圍的數的集合，可分為開區間，閉區間，半開半閉區間．
例如: 設
，則開區間
表示集合
；閉區間
表示集合
；半開半閉區間
表示集合
.
2. 零點定理:對於連續函數(嚴格化要用到極限)
，如果在區間
上有
，則一定
，滿足
．

根的分佈二、一元二次方程根的分佈討論

我們先分析二次項係數大於零，兩根均大於零的特殊情況.
設
的兩根均大於零，分析
應滿足的關係.
求根公式 求根公式
解法 (1) 二次方程求根公式
韋達定理 韋達定理
解法 (2) 韋達定理
轉化成韋達定理 轉化成韋達定理
在如下的特殊情況也可轉化成韋達定理求解:
圖像法 圖像法
解法 (3) 圖像法
由圖像推出性質 由圖像推出性質
通過圖像法分析一元二次方程根的分佈問題相對來説會更加靈活.韋達定理經常需要跟同一個數比較，如果要跟不同的數比較就不太好用了，故應優先考慮圖像法.
一般地，設一元二次方程
的兩實根為
，且
是已知參數，其中
，令
.
圖1 一元二次方程根的分佈討論 圖1 一元二次方程根的分佈討論
1.兩根與 k 的大小比較
兩根在定區間的分佈 兩根在定區間的分佈
2.兩根在定區間的分佈

根的分佈三、常見問題及解題技巧

(1) 反比例函數
的圖象在
分別連續，但在
上不能認為其連續.
(2) 不必記憶上圖中的結論，只需在應用圖象法時考慮根的判別式、對稱軸和關鍵點取值，然後推出二次方程參數應滿足的性質(必要性)即可.(有時候對稱軸或判別式為多餘)
(3) 在利用圖像法時，必須要保證由圖像推出的性質能把二次函數圖象固定下來(充分性).
(4) 在解決二次項係數帶參數的一元二次方程實根分佈問題時，可以考慮除掉參數，以減少對二次函數開口方向的討論.

根的分佈四、相關例題

根的分佈基礎訓練

根的分佈例題 根的分佈例題
【例 1】若關於
的方程
的所有根都是比
小的正實數，則實數
的取值範圍是多少?
【例 2】實數
在什麼範圍內取值時，關於
的方程
的一個根大於
而小於
，另一個根大於
而小於
.
解析：由圖像可得
根的分佈例題解析 根的分佈例題解析
【例 3】 已知
，若關於
的方程
的兩個實數根都位於
的範圍中，則
= ____
= ______．
【例 4】
根的分佈 根的分佈
（1）若二次方程
在區間
內僅有較大實根，另一根不等於
，求
的取值範圍．
根的分佈例題解析 根的分佈例題解析
（2）方程
有且僅有一根在區間
內，求
的取值範圍．

根的分佈綜合應用

根的分佈例題解析 根的分佈例題解析
【例 5】已知關於
的實係數二次方程
有兩個實根
，證明：
等價於
且
；
根的分佈例題解析 根的分佈例題解析
【例 6】關於
的一元二次方程
的兩實根的絕對值均小於
，則
的最小值為______ ．
根的分佈例題解析 根的分佈例題解析
【例 7】設
的實根
，
滿足
，求
的範圍．

根的分佈拓展內容

【例 8】已知方程
的根全為整數，求整數
的所有可能的值．
【例 9】設長方體的稜長為
，
是長方體各稜長之和，
是表面積，
是對角線長．求證：
且
.