最大模原理

在複分析中，最大模原理説明如果單變量複變函數f是一個全純函數，那麼它的模的局部最大值不可能在其定義域的內部取到。 ^[1] 

換句話來説，全純函數f要麼是常數函數，要麼對於任意的在其定義域之內的z₀，都存在一個足夠靠近它的點z，使得f在後者上的取值的模 |f(z)| 比 |f(z)₀| 更大。

設f為在複平面C的某個連通開子集D上定義的單復變全純函數。如果z₀是D中一點，使得對它任意鄰域上的其它的點z都有

，那麼函數f是在D上的常數函數。 ^[1] 

首先注意到等式： ^[2] 

於是，對於復變量自然對數， log |f(z)| 是一個調和函數。 由於z₀是這個函數的一個局部極大值，根據極大值定理，|f(z)| 在定義域上是常數。因此，運用柯西-黎曼方程可以得到：f'(z)=0。於是可以推出f(z) 是一個常數函數。

通過取倒數，可以得到對應的最小模原理。後者聲稱如果f在一個有界區域D內是全純函數，並在其邊界上連續，且在所有點上非零，那麼函數 |f(z)| 的最小值只會在D的邊界上取到。

同時，最大模原理可以被看作是所謂的開映射定理的一個特例。開映射定理聲稱，一個全純函數必然將開集映射到開集。如果 |f| 在定義域內部一點a達到極大值，那麼a的一個足夠小的領域在f映射下的像集必然不是開集。於是，f必然是常數函數。

最大模原理在複分析的許多領域中都有着應用，可以產生很多重要的結果，比如：