極值定律

在數學分析中，極值定理説明如果實函數f(x)在閉區間[a,b]上是連續函數，

則它一定存在至少一個的最大值和最小值，即[a,b]區間內至少存在兩點存在x₁和x₂，對任意

,恆有

。 ^[1] 

有界閉區域上的二元連續函數也有類似於一元函數的最值定理。

同理，根據有界性定理，可得在閉區間[a,b]內的連續函數f在該區間上有界，即存在實數m和M，使得：m≤f(x)≤M。

這表明極值定理強化了有界性定理，它表明函數不僅是有界的，而且它的最小上界就是最大值，最大下界就是最小值。

證明極值定理的基本步驟為：

1.證明有界性定理。

2.尋找一個序列，它的像收斂於f(x)的最小上界。

3.證明存在一個子序列，它收斂於定義域內的一個點。

4.用連續性來證明子序列的像收斂於最小上界。

5.同理證明最大下界。

假設函數f(x)在區間[a,b]內沒有上界，則根據實數的阿基米德原理，對於每一個自然數n，都存在[a,b]內的一個xn，使得f(xn) ＞ n。這便定義了一個序列{xn}。由於[a,b]是有界的，根據波爾查諾-魏爾施特拉斯定理，可推出存在{xn}的一個收斂的子序列{Xnk}。把它的極限記為X；由於[a,b]是閉區間，它一定含有X；因為f(x)在X處連續，我們知道{f(Xnk)}收斂於實數f(X)。但對於所有的k，都有f(Xnk) ＞ nk ≥ k，這意味着{f(Xnk)}發散於無窮大和X收斂相矛盾。因此，f在[a,b]內有上界。

我們現在證明函數f(x)在區間[a,b]內有最大值。根據有界性定理，f(x)有上界，因此，根據實數的戴德金完備性，f的最小上界M存在。我們需要尋找[a,b]內的一個d，使得M = f(d)。設n為一個自然數。由於M是最小上界，M – 1/n就不是f(x)的最小上界。因此，存在[a,b]內的dn，使得M – 1/n ＜ f(dn)。這便定義了一個序列{dn}。由於M是f的一個上界，我們便有M – 1/n ＜ f(dn) ≤ M，對於所有的n。因此，序列{f(dn)}收斂於M。

根據波爾查諾-魏爾施特拉斯定理，可知存在一個子序列{Dnk}，它收斂於某個d，且由於[a,b]是閉區間，d位於[a,b]內。因為f在d處連續，所以序列{f(Dnk)}收斂於f(d)。但{f(Dnk)}是{f(dn)}的一個子序列，收斂於M，因此M = f(d)。所以，f在d處取得最小上界M。