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有界性定理
鎖定
函數是描述客觀世界變化規律的重要數學模型，連續函數又是數學分析中非常重要的一類函數。在數學中，連續是函數的一種屬性。而在直觀上來説，連續的函數就是當輸入值的變化足夠小的時候，輸出的變化也會隨之足夠小的函數。函數極限的存在性、可微性，以及中值定理、積分等問題，都是與函數的連續性有着一定聯繫的，而閉區間上連續函數的性質也顯得非常重要。在閉區間上連續函數的性質中，有界性定理又是最值定理和介值定理等的基礎。
- 中文名
- 有界性定理
- 外文名
- boundedness theorem
- 適用領域
- 數學分析
- 應用學科
- 數學
- 屬 性
- 閉區間上的連續函數的性質
目錄
在極限理論中，我們知道閉區間上連續函數具有5個性質，即：有界性定理、最大值與最小值定理、介值定理、零點定理和一致連續性定理。其中，零點定理是介值定理的一個重要推論。而閉區間上連續函數的有界性定理的證明，在很多數學教材中，有多種方法可以證明此定理。比如可以利用閉區間套定理、確界定理、單調有界定理和柯西收斂準等。我們知道，分析數學上所列舉的實數完備性的7個基本定理是相互等價的，因而從原則上講，任何一個都可以證明該定理。在本文中，我們分別討論一元連續函數和二元連續函數的有界性定理，分別給出一種證明方法。
有界性定理閉區間上的一元連續函數的有界性定理
有界性定理定理1（一元連續函數的有界性定理）
同理，將區間
二等分，則函數f必在其中一個閉子區間上無界，將其記為
。用二等分方法無限次地進行下去，構造出閉區間列
，滿足：
（i）
（ii）
②另一方面，已知
，則對上述
，必存在足夠大的
，使得
。因為函數f在區間
上無界，所以函數在區間
上無界。
①與②矛盾，假設不成立。於是函數f在區間
上有界。證畢。
根據有界性定理以及函數的連續性，我們可以得到下面的最大、最小值定理。
有界性定理定理2
有界性定理閉域上二元連續函數的有界性定理
有界性定理定義1
設
，E是有界區域，正數
有界性定理定理3（閉域套定理）
（i）
（ii）
則存在惟一一點
有界性定理定理4（二元連續函數的有界性定理）
證 假設二元連續函數
在有界區域D上是無界的。設D的直徑為
，選取D的一條直徑，以該直徑為邊長，作一個正方形，使得D完全包含在該正方形中，然後分別連接該正方形兩組對邊的中點，則這兩條連線會將該正方形四等分，而有界閉域D會被分為有限個小區域。
由於
在有界閉域D上無界，則至少存在某個小閉域，使
在該小閉域上是無界的，記該小閉域為
，直徑為
，則
，且
。
重複上述過程，又可將有界閉域
劃分為有限個小閉域，又至少存在某個小閉域，記為
，使
在該閉域
上無界。記
的直徑為
，則
，且
。如此這般無限重複地做下去，即可得到一有界閉域列
。
該閉域列滿足：
（i）
（ii）
（iii）
在每一個
上無界。
由（i），（ii）知
為一閉域套，由閉域套定理知，存在惟一一點
，且對任意
，存在
，當
時，
。
因為
，所以函數
在點
連續，根據連續函數的局部有界性可知存在
，使得在
內有界。
取上述的
，則存在
，當
時，
，從而
在閉域
上有界，這與條件（iii）矛盾。
所以
在閉域
上有界。證畢。
上述用閉域套定理對有界閉域上二元連續函數的有界性定理進行證明，從一側面反映了此證明與用閉區間套定理證明閉區間上連續函數的有界性定理有異曲同工之妙，但值得注意的是：利用閉區間套定理證明閉區間上連續函數的有界性定理時，只需要將該閉區間不斷地二等分，就可以得到一列閉區間套；利用閉域套定理對閉域上二元連續函數的有界性定理進行證明時，我們應該將該閉域幾等分，如何去等分卻是個難題。
- 參考資料
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- 1. 華東師範大學數學系．數學分析（第四版 下冊）．北京：高等教育出版社，2010.6：78
- 2. 丁宣浩，陳義安．數學分析（下冊）．北京：高等教育出版社，2015.2：184-185
- 3. 有界閉域上二元連續函數有界性的證明 ．中國知網．2017-12-08[引用日期2018-01-21]
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