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數值逼近
(數學術語)
鎖定
- 中文名
- 數值逼近
- 外文名
- Approximation theory
數值逼近簡介
數學中有一個相關性很高的主題,是用廣義傅立葉級數進行函數逼近,也就是用以正交多項式為基礎的級數來進行逼近。
逼近理論的目標是儘可能的逼近實際的函數,一般精度會接近電腦浮點運算的精度,一般會用高次的多項式,以及(或者)縮小多項式逼近函數的區間。縮小區間可以針對要逼近的函數,利用許多不同的係數及增益來達到。數學函式庫將區間劃分為許多的小區間,每個區間搭配一個次數不高的多項式。
[1]
數值逼近最佳多項式
只要選定了多項式的次數及逼近的範圍,就可以用以使最壞情形誤差最小化的原則,來選擇逼近多項式,其目的為最小化
的絕對值,其中P(x)為逼近多項式,而f(x)為實際的函數。對於一個良態的函數,存在一個N次的多項式,使誤差曲線的大小在
和
之間震盪至多N+2次,其最壞情形的誤差為
。一個N次的多項式可以內插曲線中的N+1個點。當然也有可能製造一些極端的函數,使得滿足上述條件的多項式不存在,但在實務上很少需要為這様的函數進行逼近。
數值逼近切比雪夫近似
若計算一函數切比雪夫展開的係數:
對於一個有快速收斂冪級數的函數而言,若展開到一定項次後截止不再展開,截止產生的誤差接近截止後的第一項,因此誤差可以由截止後的第一項代表。若是用切比雪夫多項式展開,也會有一様的結果。若切比雪夫展開只展開到
,後面截止,其誤差會接近
的整數倍。切比雪夫多項式的特點是在[−1, 1]區間以內.其數值會在+1和−1之間震盪。
有N+2個極點。因此f(x)和切比雪夫展開的誤差接近一個有N+2個極點的函數,因此為近似最佳的N次多項式。
在上面中,可以看到藍色線(切比雪夫近似的誤差)有時比紅色線(最佳多項式的誤差)接近x軸,但有時藍色線反而離x軸較遠,因此切比雪夫近似和最佳多項式畢竟還是有差異。不過exp函數是快速收斂的函數,切比雪夫近似的誤差會比log函數要好。
數值逼近雷米茲算法
雷米茲算法是在1934年由蘇俄數學家雷米茲提出的算法。可用來產生在一定區間內逼近函數f(x)的最佳多項式P(x)。雷米茲算法是一種迭代式的算法,最後會收斂到使誤差函數N+2個極值的多項式。
雷米茲算法是用以下的事實為基礎:可以在有N+2個測試點的情形下,創建一個N次多項式,其誤差函數在0附近震盪。
假設N+2個測試點
(其中
和
假設是區間的二個端點),需求解以下的多項式:
數值逼近相關條目
- 廣義傅立葉級數
- 邵德爾基