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切比雪夫多項式
鎖定
- 中文名
- 切比雪夫多項式
- 外文名
- Chebyshev polynomials
- 分 類
- 第一類和第二類
- 符號表示
- Tn或Un
- 應 用
- 插值，冪級數項數節約
- 命名者
- 切比雪夫（Tschebyscheff）
切比雪夫多項式公式源來
圖示
切比雪夫多項式基本性質
n
1時，Tn的最高次項係數為
，n=0時係數為1。
切比雪夫多項式公式分類
在微分方程的研究中，數學家提出切比雪夫微分方程：
公式
公式
第一類切比雪夫多項式
由以下遞推關係確定
公式
也可以用母函數表示
公式
第二類切比雪夫多項式
由以下遞推關係給出
公式
此時母函數為
公式
切比雪夫多項式兩類關係
公式
切比雪夫多項式是超球多項式或蓋根堡多項式的特例，後者是雅可比多項式的特例。
切比雪夫多項式導數形式的遞推關係可以由下面的關係式推出：
公式
切比雪夫多項式公式應用
切比雪夫多項式插值
切比雪夫多項式在逼近理論中有重要的應用。這是因為第一類切比雪夫多項式的根（被稱為切比雪夫節點）可以用於多項式插值
[1]
。相應的插值多項式能最大限度地降低龍格現象，並且提供多項式在連續函數的最佳一致逼近。
冪級數項數的節約
設f(x)在(1,1)上的近似展開式為
公式
若
公式
其中
是給定的誤差限．可以利用切比雪夫多項式將Pn(x)重新組合以降低逼近多項式的次數。記
公式
若
公式
而
公式
則可以把後面m項去掉，得到f(x)新的，n-m次的並滿足誤差要求的逼近多項式
公式
事實上，只要注意
公式
公式
切比雪夫多項式一直是研究熱點，已發現了許多良好的性質，如正交性、奇偶性、有界性、完備性等，產生了不少恆等式，得到了一些積和式，對第一類切比雪夫多項式構成的遞推關係式、不動點、方程(組)也有了初步的研究成果，對切比雪夫型基本方程組全體複數解的一般表示及其週期軌表示、二維切比雪夫型方程組也出現了更深入的研究。有的學者則研究了其在分子軌道方面的應用，在Fibonacci數的應用，還有學者研究了與切比雪夫多項式相關的行列式。
