龍格現象

在計算方法中，有利用多項式對某一函數的近似逼近，計算相應的函數值。例如，在事先不知道某一函數的具體形式的情況下，只能測量得知某一些分散的函數值。例如我們不知道氣温隨日期變化的具體函數關係，但是我們可以測量一些孤立的日期的氣温值，並假定此氣温隨日期變化的函數滿足某一多項式。這樣，利用已經測的數據，應用待定係數法便可以求得一個多項式函數f(x)。應用此函數就可以計算或預測其他日期的氣温值。一般情況下，多項式的次數越多，利用的數據就越多，而預測也就越準確。

例外發生了：龍格在研究多項式插值的時候，發現有的情況下，並非取節點（日期數）越多多項式就越精確。例如f(x)=1/(1+25x^2)，它的插值函數在兩個端點處發生劇烈的波動，造成較大的誤差。

下面是MATLAB中演示對f(x)=1/(1+25x^2)插值的代碼

%演示龍格函數的插值情況
for i=3:2:11
x=linspace(-1,1,i);
y=1./(1+25*x.^2);
p=polyfit(x,y,i-1);
xx=-1:0.01:1;
yy=polyval(p,xx);
plot(xx,yy,'b');
hold on;
grid on;
end;
plot(x,1./(1+25*x.^2),'r');

圖1 龍格函數(1張)

運行效果如圖1

圖1中紅色的才是真正的函數圖形。在f(0)附近以外，插值次數越高，結果偏離越大。一般把這種次數越高而插值結果越偏離原函數的現象稱為龍格現象。所以在不熟悉曲線運動趨勢的前提下，不要輕易使用高次插值。