-
描述函數法
鎖定
描述函數法是P.J.Daniel在1940年首先提出的,主要用來分析在沒有輸入信號作用時,一類非線性系統的穩定性和自振問題。
描述函數法是從頻率域的角度研究非線性控制系統的穩定性的一種等效線性化方法。在蘇聯文獻中,常把這種方法稱為諧波平衡法。這種方法部不受系統階次的影響,但有一定的近似性。另外,描述函數法只能用於研究系統的頻率響應特性,不能給出時間響應的確切信息。
定義:非線性環節穩態正弦響應中的基波分量與輸入正弦信號的複數比(幅值比,相角差)。
- 中文名
- 描述函數法
- 所屬學科
- 控制科學
- 適用範圍
- 數學;過程控制
- 研究對象
- 非線性系統研究
- 提出者
- P.J.Daniel
- 提出年份
- 1940年
- 別 名
- 諧波平衡法
描述函數法描述函數
對於一個特性不隨時間變化的非線性元件,輸入是正弦變化並不保證輸出也是正弦變化,但可保證輸出必然是一個週期函數,而且其週期與輸入信號的週期相同。將輸入正弦函數表示為
,同時把輸出週期函數
展開成傅里葉級數 則非線性元件的描述函數規定為,由輸出的一次諧波分量對輸入正弦函數的振幅之比為模和它們的相位之差為相角組成的一個複函數,其表達式為
式中
是正弦輸入的振幅,
是輸出的一次諧波分量的振幅,
是輸出的一次諧波分量與正弦輸入的相位差。因此,一個非線性元件就可採用由描述函數表徵的一個線性元件來等效。這種等效的近似性實質上就是,在使非線性元件與其等效線性元件的輸出偏差均方值為極小意義下的最優逼近。描述函數
與輸入正弦函數的角頻率
無關,為輸入正弦函數振幅
的一個複函數。上表列出一些典型的非線性特性的描述函數。
描述函數法用途
描述函數的一個主要用途是分析非線性控制系統的穩定性,特別是預測系統的自激振盪(週期運動)。對於一類由線性部件和非線性部件構成的閉環控制系統(圖1),假定其線性部分為最小相位系統並採用頻率響應
表示它的特性,而用描述函數N表示系統中非線性特性的近似等效特性。那麼在同一個複數平面上作出
當
由0變化到
的軌跡和
當
由0變化到
的軌跡後,就可從這兩個軌跡的相互分佈關係得到判斷此類閉環控制系統的穩定性的一些判據。
穩定和不穩定判據
自激振盪判據
如果-1/N 軌跡和
軌跡相交,則閉環系統的輸出可能出現自激振盪。這種自激振盪一般不是正弦的,其角頻率值和振幅值分別為交點處
軌跡上的
值和
軌跡上的
值。但是,並非所有交點都能構成穩定自激振盪。只有
軌跡的進行方向是由
的包圍區過渡到非包圍區的那些交點(如圖2的B點)才能構成穩定自激振盪。