描述函數法

對於一個特性不隨時間變化的非線性元件，輸入是正弦變化並不保證輸出也是正弦變化，但可保證輸出必然是一個週期函數，而且其週期與輸入信號的週期相同。將輸入正弦函數表示為

,同時把輸出週期函數

展開成傅里葉級數 則非線性元件的描述函數規定為，由輸出的一次諧波分量對輸入正弦函數的振幅之比為模和它們的相位之差為相角組成的一個複函數，其表達式為

式中

是正弦輸入的振幅,

是輸出的一次諧波分量的振幅,

是輸出的一次諧波分量與正弦輸入的相位差。因此，一個非線性元件就可採用由描述函數表徵的一個線性元件來等效。這種等效的近似性實質上就是，在使非線性元件與其等效線性元件的輸出偏差均方值為極小意義下的最優逼近。描述函數

與輸入正弦函數的角頻率

無關，為輸入正弦函數振幅

的一個複函數。上表列出一些典型的非線性特性的描述函數。

描述函數的一個主要用途是分析非線性控制系統的穩定性，特別是預測系統的自激振盪（週期運動）。對於一類由線性部件和非線性部件構成的閉環控制系統(圖1)，假定其線性部分為最小相位系統並採用頻率響應

表示它的特性,而用描述函數N表示系統中非線性特性的近似等效特性。那麼在同一個複數平面上作出

當

由0變化到

的軌跡和

當

由0變化到

的軌跡後，就可從這兩個軌跡的相互分佈關係得到判斷此類閉環控制系統的穩定性的一些判據。

如果

軌跡沒有被

軌跡所包圍,則閉環控制系統是穩定的。而當

軌跡被

軌跡所包圍時，閉環控制系統是不穩定的。在前一情況下，系統不會出現自激振盪；在後一情況下，系統輸出將增加到安全裝置所限定的極限值。

如果-1/N 軌跡和

軌跡相交，則閉環系統的輸出可能出現自激振盪。這種自激振盪一般不是正弦的，其角頻率值和振幅值分別為交點處

軌跡上的

值和

軌跡上的

值。但是，並非所有交點都能構成穩定自激振盪。只有

軌跡的進行方向是由

的包圍區過渡到非包圍區的那些交點（如圖2的B點）才能構成穩定自激振盪。

描述函數法對於非線性控制系統的綜合，也提供了方便的工具。通過引入適當的校正裝置可以改變系統線性部分頻率響應

軌跡的形狀，從而使閉環控制系統中不出現自激振盪並確保較好的過渡過程性能。

描述函數法在分析非線性控制系統中的有效性和準確度，主要取決於非線性元件輸出週期函數中的高次諧波分量在通過線性部分後被衰減的程度。高階線性系統通常具有較好的低通濾波特性，因此用這個方法分析非線性系統時，線性部分為高階時的分析準確度往往比線性部分為低階時好得多。對於判斷自激振盪，則當

軌跡和

軌跡接近於垂直相交時，描述函數法的分析準確度較高。