拉格朗日方法

拉格朗日方法是對積分進行極值化，函數y=y(x)待定．他不象歐拉和前人用改變極大或極小化曲線的個別座標的辦法，而是引進通過端點(x1，y1)，(x2，y2)的新曲線

y(x)+δy(x)，

δy(x)叫曲線y(x)的變分．J相應的增量△J按δy，δy′展開的一、二階項叫一次變分δJ和二次變分δ2J．他用分析方法證明了δJ為零的必要條件就是歐拉方程

他還繼續討論了端點變動時的情況以及兩個自變量的重積分的情況，使這個分支繼續發展．1770年以後，拉格朗日還研究了被積函數f包含高階導數的單重和多重積分時的情況，現在已發展成為變分法的標準內容．

2．微分方程．早在都靈時期，拉格朗日就對變係數常微分方程研究做出重大成果．他在降階過程中提出了以後所稱的伴隨方程，並證明了非齊次線性變係數方程的伴隨方程的伴隨方程，就是原方程的齊次方程．他還把歐拉關於常係數齊次方程的結果推廣到變係數情況，證明了變係數齊次方程的通解可用一些獨立特解乘上任意常數相加而成；而且在知道方程的m個特解後，可以把方程降低m價．

在柏林時期，他對常微分方程的奇解和特解做出歷史性貢獻，在1774年完成的“關於微分方程特解的研究”(Sur les intégralesparticulieres des equations différentielles)[22]中系統地研究了奇解和通解的關係，明確提出由通解及其對積分常數的偏導數消去常數求出奇解的方法；還指出奇解為原方程積分曲線族的包絡線．當然，他的奇解理論還不完善，現代奇解理論的形式是由G．達布(Darboux)等人完成的．

常微分方程組的研究在當時結合天體力學中的課題進行．拉格朗日在1772年完成的“論三體問題”(Essai sur le problémedes trois corps)[8]中，找出了三體運動的常微分方程組的五個特解：三個是三體共線情況；兩個是三體保持等邊三角形；在天體力學中稱為拉格朗日平動解．他同拉普拉斯一起完善的任意常數變異法，對多體問題方程組的近似解有重大作用，促進了攝動理論的建立．

拉格朗日是一階偏微分方程理論的建立者，他在1772年完成的。“關於一階偏微分方程的積分”(Sur l'integration des équationau differences partielles du premier order)[21]和1785年完成的“一階線性偏微分方程的一般積分方法”(Méthode génèrale pourintégrer les equations partielles du premier order lorsque cesdifferences ne sont que linèaires)[23]中，系統地完成了一階偏微分方程的理論和解法．

他首先提出了一階非線性偏微分方程的解分類為完全解、奇解、通積分等，並給出它們之間的關係．還對形如

的非線性方程，化為解線性方程

後來又進一步證明了解線性方程

Pp+Qq=R(P，Q，R為x，y，z的函數)(5)

與解

等價，而解(6)式又與解常微分方程組

等價．(5)式至今仍稱為拉格朗日方程．有趣的是，由上面已可看出，一階非線性偏微分方程，可以化為解常微分方程組．但拉格朗日自己卻不明確，他在1785年解一個特殊的一階偏微分方程時，還説不能用這種方法，可能他忘記了自己在1772年的結果．現代也有時稱此方法為拉格朗日方法，又稱為柯西(Cauchy)的特徵方法．因拉格朗日只討論兩個自變量情況，在推廣到n個自變量時遇到困難，而後來由柯西在1819年克服．

3．方程論．18世紀的代數學從屬於分析，方程論是其中的活躍領域．拉格朗日在柏林的前十年，大量時間花在代數方程和超越方程的解法上．

他在代數方程解法中有歷史性貢獻．在長篇論文“關於方程的代數解法的思考” (Réflexions sur le resolution algébrique desequations，《全集》Ⅲ， pp 205—421)中，把前人解三、四次代數方程的各種解法，總結為一套標準方法，而且還分析出一般三、四次方程能用代數方法解出的原因．三次方程有一個二次輔助方程，其解為三次方程根的函數，在根的置換下只有兩個值；四次方程的輔助方程的解則在根的置換下只有三個不同值，因而輔助方程為三次方程．拉格朗日稱輔助方程的解為原方程根的預解函數(是有理函數)．他繼續尋找5次方程的預解函數，希望這個函數是低於5次的方程的解，但沒有成功．儘管如此，拉格朗日的想法已藴含着置換羣概念，而且使預解(有理)函數值不變的置換構成子羣，子羣的階是原置換羣階的因子．因而拉格朗日是羣論的先驅．他的思想為後來的N．H．阿貝爾(Abel)和 E．伽羅瓦(Galois)採用並發展，終於解決了高於四次的一般方程為何不能用代數方法求解的問題．

拉格朗日在1770年還提出一種超越方程的級數解法．設p為方程

這就是後來在天體力學中常用的拉格朗日級數．他自己沒有討論收斂性，後來由柯西求出此級數的收斂範圍．

4．數論．拉格朗日到柏林初期就開始研究數論，第一篇論文“二階不定問題的解”（Sur la solution des problémès in détèrminésdu seconde degrés）[14]和送交都靈《論叢》的“一個算術問題的解”(Solution d'un problème d'arithmetique)[15]中，討論了歐拉多年從事的費馬(Fermat)方程

x2-Ay2=1(x，y，A為整數)，(9)

不定問題解的新方法”(Nouvelle méthode pour resoudveles problèmes indéteminés en nombres entiers)[16]中得到更一般的費馬方程

x2-Ay2=B(B也為整數)(10)

的解．還討論了更廣泛的二元二次整係數方程

ax2+2bxy+cy2+2dx+2ey+f=0，(11)

並解決了整數解問題．

拉格朗日還在1772年的“一個算術定理的證明”(De monstration d'un théorème d'arthmétique，《文集》Ⅲ，pp．189—201)中，把歐泣40多年沒有解決的費馬另一猜想“一個正整數能表示為最多四個平方數的和”證明出來．在1773年發表的“質數的一個新定理的證明”(Démonstation d'un theorem nouveau concernant les nombres premiers)[17]中，證明了著名的定理：n是質數的充要條件為(n-1)！+1能被n整除．

拉格朗日不僅有大量成果，還在方法上有創新．如在證明(9)式

研究”(Recherches d'arithmétiques，《文集》Ⅲ，pp．695—795)中，研究(11)式解時採用的方法和結果，是二次型理論的基本文獻．

5．函數和無窮級數．同18世紀的其他數學家一樣，拉格朗日也認為函數可以展開為無窮級數，而無窮級數則是多項式的推廣．他還試圖用代數建立微積分的基礎．在他的《解析函數論……》(《文集》Ⅸ)中，書名上加的小標題“含有微分學的主要定理，不用無窮小，或正在消失的量，或極限與流數等概念，而歸結為代數分析藝術”，表明了他的觀點．由於迥避了極限和級數收斂性問題，當然就不可能建立真正的級數理論和函數論，但是他們的一些處理方法和結果仍然有用，他們的觀點也在發展．

拉格朗日就在《解析函數論……》中，第一次得到微分中值定理(書中第六章)

f(b)-f(a)=f′(c)(b-a)(a≤c≤b)，(12)

後面並用它推導出泰勒(Taylor)級數，還給出餘項Rn的具體表達式(第二十章)

Rn就是著名的拉格朗日餘項形式．他還着重指出，泰勒級數不考慮餘項是不能用的．雖然他還沒有考慮收斂性，甚至各階導數的存在性，但他強調Rn要趨於零．表明他已注意到收 題．

他同歐拉、達朗貝爾等在任意函數能否表為三角級數的長期爭論，雖未解決，但為以後三角級數理論的建立打下了基礎．

最後要提一下他在《師範學校數學基礎教程》中，提出了著名的拉格朗日內插公式

直到現在計算機計算大量中點內插時仍在使用．另外在求多元函數相對極大極小及解微分方程中的拉格朗日任意乘子法，至今也在用．

除了對數學分析在18世紀建立的主要分支有開拓性貢獻外，他對嚴格化問題也開始注意．儘管迴避了極限概念，但他仍承認可以在極限基礎上建立微積分(《文集》Ⅰ，p．325)．但正是對嚴格化重視不夠，所建立的分支到一定階段就很難深入．這可能是他晚年研究工作少的原因．他在1781年9月21日給達朗貝爾的信中説：“在我看來，似乎(數學)礦井已挖掘很深了，除非發現新礦脈，否則勢必放棄它…．”(《文集》XⅢ368．)這説出了他和其他同事們的心情．事實表明，19世紀在建立數學分析嚴格基礎後，數學更迅速地發展．

分析力學的創立者 牛頓的力學理論仍用幾何方法討論．到18世紀中期，歐拉和達朗貝爾開始用分析方法，而拉格朗日在使力學分析化方面最出色，他在1788年出版的《分析力學》一書，就是分析力學這門學科建立的代表作．他一生的全部力學論文以及同時代人的力學貢獻，都歸納到這部著作中．他的研究目的是使力學成為數學分析的分支．他在《分析力學》的序言中説：“…我在其中闡明的方法，既不要求作圖，也不要求幾何的或力學的推理，而只是一些按照一致而正規的程序的代數(分析)運算．喜歡分析的人將高興地看到，力學變成了它的一個新分支，並將感激我擴大了它的領域．”實際情況正是這樣．

拉格朗日在這方面的最大貢獻是把變分原理和最小作用原理具體化，而且用純分析方法進行推理，成為拉格朗日方法．

他首先引入廣義座標概念，故廣義座標又稱為拉格朗日座標．一個力學系統可用有限個座標qj(j=1，2，…，N)表示；qj= dqj/dt為相應的廣義速度．力學系統總動能T(拉格朗日稱之為活力)表為qj·qj和時間t的函數後，定義

為作用，最小作用原理成為δI=0．拉格朗日用變分法討論δI=0時，導出了力學系統的運動方程為

其中Qj為力學系統受到的作用力在廣義座標中的表達式，稱為廣義力．如力為保守的，則存在勢函數V，(16)式成為

(16)或(17)式就是第二類拉格朗日方程．後來S．D．泊松(Poisson)等引入函數

L就取名為拉格朗日函數．

拉格朗日還把這些方法用於研究質點組，剛體和流體．在流體力學中討論流體內各點的運動方法仍稱為拉格朗日方法．

最後收集到《文集》中的《分析力學》是第二版，共分兩卷，785頁．第一卷中一半講述“靜力學”，主要討論質點組和流體的平衡問題．從分析靜力學原理開始，討論了質點組和流體的平衡條件，並用於研究行星的形狀．第一卷後半和第二卷全部討論“動力學”．

動力學部分共分為十三章，前四章講述動力學原理和建立質點系統運動方程的拉格朗日方法，包括(16)，(17)式的推導以及運動的一般性質．第五章“用任意常數變化解動力學問題的一般近似方法”中，把他在微分方程解法中的任意常數變異法用於解動力學方程．後面討論了一階近似的求積方法．第七章“關於能看作質點的自由物體系統在引力作用下的運動”主要講天體力學的基本問題．第八、九章討論不動中心吸引問題和剛體動力學．第十章討論地球自轉和月球天平動．最後三章討論流體動力學基本問題，作為拉格朗日方法的應用．

拉格朗日創立分析力學使力學發展到新的階段．拉格朗日方程(16)，(17)式推廣了牛頓第二運動定律；使得在任意座標系下有統一形式的運動方程，便於處理各種約束條件等優點，至今仍為動力學中的最重要的方程．在《分析力學》第二版印出(第二卷1816年)後不久，W．R．哈密頓(Hamilton)於1834年提出廣義動量並建立哈密頓正則方程，又同K．G．雅可比(Jacobi)一起建立哈密頓-雅可比方法(1837)後，分析力學正式奠基建成，很快用到各學科領域．

天體力學的奠基者 天體力學是在牛頓發表萬有引力定律(1687)時誕生的，很快成為天文學的主流．它的學科內容和基本理論是在18世紀後期建立的．主要奠基者為歐拉，A．C．克萊羅(Clairaut)、達朗貝爾、拉格朗日和拉普拉斯．最後由拉普拉斯集大成而正式建立經典天體力學．拉格朗日一生的研究工作中，約有一半同天體力學有關，但他主要是數學家，他要把力學作為數學分析的一個分支，而又把天體力學作為力學的一個分支對待．雖然如此，他在天體力學的奠基過程中，仍有重大歷史性貢獻．

首先在建立天體運動方程上，拉格朗日用他在分析力學中的原理和(16)，(17)式，建立起各類天體的運動方程．其中特別是根據他在微分方程解法的任意常數變異法，建立了以天體橢圓軌道根數為基本變量的運動方程，現在仍稱作拉格朗日行星運動方程，並在廣泛應用，此方程對攝動理論的建立和完善起了重大作用，方程在1780年獲巴黎科學院獎的論文“彗星在行星作用下的攝動理論研究”(Recherches sur la théorie des perturbations queles comètes peuvent éprouver par l'action des planètes)[13]中給出，得到達朗貝爾和拉普拉斯的高度評價．另外在一篇有關三體問題的獲獎文章中[8]，把三體問題的運動方程組第一次降到七階．

在天體運動方程解法中，拉格朗日的重大歷史性貢獻是發現三體問題運動方程的五個特解[8]，即拉格朗日平動解．其中兩個解是三體圍繞質量中心作橢圓運動過程中，永遠保持等邊三角形．他的這個理論結果在100多年後得到證實． 1907年2月22日，德國海德堡天文台發現了一顆小行星[後來命名為希臘神話中的大力士阿基里斯(Achilles)，編號588]，它的位置正好與太陽和木星形成等邊三角形．到1970年前，已發現15顆這樣的小行星，都以希臘神話中特洛伊(Troy)戰爭中將帥們的名字命名．有9 顆位於木星軌道上前面60°處的拉格朗日特解附近，名為希臘人(Greek)羣；有6顆位於木星軌道上後面60°處的解附近，名為脱羅央(Trojan)羣．1970年以後又繼續發現40多顆小行星位於此兩羣內，其中我國紫金山天文台發現四顆，但尚未命名．至於為什麼在特解附近仍有小行星，是因為這兩個特解是穩定的．1961年又在月球軌道前後發現與地月組成等邊三角形解處聚集的流星物質，是拉格朗日特解的又一證明．至今尚未找到肯定在三個拉格朗日共線羣(三體共線情況)處附近的天體，因為這三個特解不穩定．另外，拉格朗日在一階攝動理論中也有重要貢獻，提出了計算長期攝動方法(《文集》Ⅴ，pp．125—414)，並與拉普拉斯一起提出了在一階攝動下的太陽系穩定性定理(參見《世界著名科學家傳記·天文學家Ⅰ》中“拉普拉斯”條)．此外，拉格朗日級數(8)式在攝動理論中有廣泛應用．

在具體天體的運動研究中，拉格朗日也有大量重要貢獻，其中大部分是參加巴黎科學院徵獎的課題．他的月球運動理論研究論文多次獲獎．1763年完成的“月球天平動研究”(Recherches sur laLibration de la lune)[6]獲1764年度獎，此文較好地解釋了月球自轉和公轉的角速度差異，但對月球赤道和軌道面的轉動規律解釋得不夠好．後來在1780年完成的論文解決得更好(參見《文集》Ⅴ，pp．5—123)．獲1772年度獎的就是著名的三體問題論文[8]，也是針對月球運動研究寫出的．獲1774年度獎的論文為“關於月球運動的長期差”(Sur l’equation séculaire de la lune)[9]，其中第一次討論了地球形狀和所有大行星對月球的攝動．關於行星和彗星運動的論文也有兩次獲獎．1776年度獲獎的是他在1775年完成的三篇論文[10，11，12，]其中討論了行星軌道交點和傾角的長期變化對彗星運動的影響．1780年度的獲獎論文就是提出著名的拉格朗日行星運動方程的那篇[13]．

獲1766年度獎的論文是“木星的衞星運動的偏差研究…”(Recherches sur les inégualités des satellites de Jupiter…)[7]，其中第一次討論了太陽引力對木星的四個衞星運動的影響，結果比達朗貝爾的更好．

拉格朗日從事的天體力學課題還有很多，如在柏林時期的前半部分，還研究了用三個時刻的觀測資料計算彗星軌道的方法(《文集》Ⅳ，pp．439—532)，所得結果成為軌道計算的基礎．另外他還得到了一種力學模型——兩個不動中心問題的解，這是歐拉已討論過的，又稱為歐拉問題．是拉格朗日推廣到存在離心力的情況，故後來又稱為拉格朗日問題(《文集》Ⅱ，pp．67—121)．這些模型現在仍在應用．有人用作人造衞星運動的近似力學模型．此外，他在《分析力學》中給出的流體靜力學的結果，後來成為討論天體形狀理論的基礎．

總的看來，拉格朗日在天體力學的五個奠基者中，所做的歷史性貢獻僅次於拉普拉斯．他創立的“分析力學”對以後天體力學的發展有深遠的影響．

結束語

拉格朗日是18世紀的偉大科學家，在數學、力學和天文學三個學科中都有歷史性的重大貢獻．但他主要是數學家，他最突出的貢獻是在把數學分析的基礎脱離幾何與力學方面起了決定性的作用．使數學的獨立性更為清楚，而不僅是其他學科的工具．同時在使天文學力學化、力學分析化上也起了歷史性作用，促使力學和天文學(天體力學)更深入發展．由於歷史的侷限，嚴密性不夠妨礙着他取得更多的成果．

拉格朗日的著作非常多，未能全部收集．他去世後，法蘭西研究院集中了他留在學院內的全部著作，編輯出版了十四卷《拉格朗日文集》，由J．A．塞雷(Serret)主編，1867年出第一卷，到1892年才印出第十四卷．第一卷收集他在都靈時期的工作，發表在《論叢》第一到第四卷中的論文；第二卷收集他發表在《論叢》第四、五卷及《都靈科學院文獻》第一、二卷中的論文；第三卷中有他在《柏林科學院文獻》 1768—1769年， 1770—1773年發表的論文； 第四卷刊有他在《柏林科學院新文獻》1774—1779年， 1781年，1783年發表的論文；第五卷刊載上述刊物1780—1783年，1785—1786年，1792年，1793年，1803年發表的論文；第六卷載有他未在巴黎科學院或法蘭西研究院的刊物上發表過的文章；第七卷主要刊登他在師範學校的報告；第八卷為1808年完成的《各階數值方程的解法論述及代數方程式的幾點説明》(Traité des équations numériquesde tous les degrés， avec des notes sur plusieurs points de lathéorie des equations algébriques)一書；第九卷是1813年再版的《解析函數論，含有微分學的主要定理，不用無窮小，或正在消失的量，或極限與流數等概念，而歸結為代數分析藝術》一書；第十卷是1806年出版的《函數計算教程》一書；第十一卷是1811年出版的《分析力學》第一卷，並由J．貝特朗(Bertrand)和G．達布(Darboux)作了註釋；第十二卷為《分析力學》的第二卷，仍由上述二人註釋，此二卷書後來在巴黎重印(1965)；第十三卷刊載他同達朗貝爾的學術通訊；第十四卷是他同孔多塞，拉普拉斯，歐拉等人的學術通訊，此二卷都由L．拉朗(Lalanne)作註釋．還計劃出第十五卷，包含1892年以後找到的通訊，但未出版．