德拜模型

每一個獨立諧振子的振動是一種簡正振動模式，彈性媒質的一種簡正振動模式是具有一定頻率、波長和傳播方向的彈性波。彈性固體能夠以不同的速度傳播縱、橫兩種波。對於每一個振動頻率，縱波只有在傳播方向的一種振動，橫波有兩種垂直於傳播方向的振動（兩個偏振），共三個振動模式。為把固體看作是連續的彈性媒質，德拜模型只考慮那些頻率非常低（近似取為零）直到極限頻率vm範圍內的振動模式。由於n的數目很大，3n種振動頻率可看作是連續分佈在零到vm區間內，則3n個不同頻率的獨立諧振子的總能量就由分立的求和變為積分，uo是同温度無關的常數， ρ(v)稱頻率分佈函數。用熱力學關係，由點陣振動導致的固體的定容熱容是。ρ(v)的形式是其中v是固體的體積，с1、сt分別是固體中縱波和橫波的傳播速度。由條件可得到德拜最大頻率是，而ρ(v)就可寫成。令x=hv/kt， 便導出了固體的摩爾熱容，其中θd=hvm/k稱德拜温度。上式在t>>d時導出=3r(r是摩爾氣體常數)，就是經典結果；當t<d時，可得，隨着t→0，按t3趨於零。對中間温度區域，則需用數值計算求積分值。對於一些簡單結構的固體，其熱容的理論曲線同實驗結果的比較見圖。圖中同時畫出了杜隆-珀替定律的曲線。可見，德拜模型導出的熱容公式同實驗符合得很好。

根據量子論，德拜所考慮的彈性波的簡正振動能量也是量子化的，是最小能量hv的倍數。彈性波的這一最小能量稱為聲子，它是固體原子系統的集體激發模式，可看作是在點陣中傳播的具有一定能量和運動方向的準粒子。把彈性聲波場當作聲子系統處理後，再把〖htk〗普朗克公式〖ht〗運用到固體點陣振動上，頻率為v的振子振動的平均能量就是，那麼3n個不同頻率的獨立諧振子的總能量是各振子平均能量的和。

德拜模型不能用於以下幾種情況：①較複雜的分子，特別是高度各向異性晶體，前述的頻率分佈函數不適用時；②波長同點陣間距離可比擬，破壞了連續媒質的設想時；③極低温度下，電子參與對熱容貢獻並起主要作用時（見〖htk〗電子比熱容〖ht〗）。

實際上，德拜用不同和更加簡單的方法推出了這個方程。利用連續介質的固體力學，他發現頻率小於某個特定值的振動狀態的數目趨近於：

n \sim {1 \over 3} \nu^3 V F\,,

其中V是體積，F是一個因子，他從彈性係數和密度計算。把這與温度T的量子諧振子的期望能量（已經由愛因斯坦在他的模型中使用）結合，便給出能量：

U = \int_0^\infty \,{h\nu^3 V F\over e^{h\nu/kT}-1}\, d\nu\,,

如果振動頻率趨於無窮大。這個形式給出了T4的表現，它在低温時是正確的。但德拜意識到N個原子不可能有超過3N個振動狀態。他假設在原子固體中，振動狀態的頻譜將繼續遵循以上的規則，到一個最大的頻率νm為止，使得總的狀態數目為3N：

3N = {1 \over 3} \nu_m^3 V F \,.

德拜知道這個假設不是真正正確的（較高的頻率比假設要更加密集），但它保證了高温時的正確表現（杜隆-珀替定律）。於是，能量由以下給出：

U = \int_0^{\nu_m} \,{h\nu^3 V F\over e^{h\nu/kT}-1}\, d\nu\,,

= V F kT (kT/h)^3 \int_0^{T_D/T} \,{x^3 \over e^x-1}\, dx\,,

其中TD是hνm / k。

= 9 N k T (T/T_D)^3 \int_0^{T_D/T} \,{x^3 \over e^x-1}\, dx\,,

= 3 N k T D_3(T_D/T)\,,

其中D3是一個函數，後來命名為三階德拜函數。

設固體是N個初基原胞組成的三維單式格子，可知此時僅有3支聲學支格波，並設它們的相速度v_P都相同。可由格波態密度函數求出固體熱容公式：

式中截止頻率ω_m又稱為德拜頻率，記為ω_D。

高温情況下，通過對固體熱容公式積分的近似處理，可得到：

若考察的固體為1mol物質，則N=N₀，C_v=3N₀k_B=3R，與杜隆-珀替定律符合。

低温情況下，固體熱容公式積分得：

式中Θ_D為德拜温度。與德拜實驗定律相符合。

德拜模型考慮了格波的頻率分佈，把晶體當作彈性連續介質來處理。在低温情況下，温度越低，被激發的格波頻率也越低，對應的波長便越長，而波長越長，把晶體視為連續彈性介質的近似程度越好。即温度越低，德拜模型越接近實際情況。 ^[1]