固體力學

固體力學是力學中研究固體機械性質的學科，連續介質力學組成部分之一，主要研究固體介質在外力，温度和形變的作用下的表現，是連續介質力學的一個分支。一般包括材料力學、彈性力學、塑性力學等部分。固體力學廣泛的應用張量來描述應力，應變和它們之間的關係。

在固體力學中，線性材料模型的應用是最為廣泛的，但是很多材料是具有非線性特性的，隨着新材料的應用和原有材料達到它們應用的極限，非線性模型的應用愈加廣泛。固體力學是力學中形成較早、理論性較強、應用較廣的一個分支，它主要研究可變形固體在外界因素(如載荷、温度、濕度等)作用下，其內部各個質點所產生的位移、運動、應力、應變以及破壞等的規律。固體力學研究的內容既有彈性問題，又有塑性問題；既有線性問題，又有非線性問題。在固體力學的早期研究中，一般多假設物體是均勻連續介質，但近年來發展起來的複合材料力學和斷裂力學擴大了研究範圍，它們分別研究非均勻連續體和含有裂紋的非連續體。

自然界中存在着大至天體，小至粒子的固態物體和各種固體力學問題。人所共知的山崩地裂、滄海桑田都與固體力學有關。現代工程中，無論是飛行器、船舶、坦克，還是房屋、橋樑、水壩、原子反應堆以及日用傢俱，其結構設計和計算都應用了固體力學的原理和計算方法。

由於工程範圍的不斷擴大和科學技術的迅速發展，固體力學也在發展，一方面要繼承傳統的有用的經典理論，另一方面為適應各們現代工程的特點而建立新的理論和方法。

固體力學的研究對象按照物體形狀可分為杆件、板殼、空間體、薄壁杆件四類。薄壁杆件是指長寬厚尺寸都不是同量級的固體物件。在飛行器、船舶和建築等工程結構中都廣泛採用了薄壁杆件。

固體力學的發展過程可分為三個時期。

遠在公元前二千多年前，中國和世界其他文明古國就開始建行了有力學思想的建築物、簡單的車船和狩獵工具等。中國在隋開皇中期（公元591～599年）建行的趙州石拱橋，已藴含了近代杆、板、殼體設計的一些基本思想。隨着實踐經驗的積累和工藝精度的提高，人類在房屋建築、橋樑和船舶建造方面都不斷取得輝煌的成就。但早期的關於強度計算或經驗估算等方面的許多資料並沒有流傳下來。儘管如此，這些成就還是為較早發展起來的固體力學理論，特別是後來劃歸材料力學和結構力學那些理論奠定了基礎。

實踐經驗的積累和17世紀物理學的成就，為固體力學理論的發展準備了條件。在18世紀，製造大型機器、建造大型橋樑和大型廠房這些社會需要，成為固休力學發展的推動力。固體力學理論的發展一般經歷四個階段：①基本概念形成的階段；②解決特殊問題的階段；③建立一般理論、原理、方法、數學方程的階段；④探討複雜問題的階段。這四個階段的發展次序不是絕對的，有時互相交叉，彼此有密切的聯繫。在這一時期，固體力學基本上是沿着研究彈性規律和研究塑性規律這樣兩條平行的道路發展的。而彈性規律的研究開始較早。

彈性固體的力學理論是在實踐的基礎上於17世紀發展起來的。英國的R.胡克於1678年提出：物體的變形與所受外載荷成正比，後稱為胡克定律。瑞士的雅各布第一·伯努利在17世紀末提出關於彈性杆的撓度曲線的概念。而丹尼爾第一·伯努利於18世紀中期首先導出稜柱杆側向振動的微分方程。瑞士的L.歐拉於1744年建立了受壓柱體失穩臨界值的公式，又於1757年建立了柱體受壓的微分方程，從面晟為第一個研究穩定性問題的學者。法國的C.-A.de庫侖在1773年提出了材料強度理論，他還在1784年研究了扭轉問題並提出剪切的概念。這些研究成果為深入研究彈性固體的力學理論奠定了基礎。法國的C.-L.-M.-H.納維於1820年研究了薄板彎曲問題並於次年發表了彈性力學的基本方程。法國的A.-L.柯西於1822年給出應力和應變的嚴格定義並於次年導出矩形六面體微元的平衡微分方程。柯西提出的應力和應變對後來數學彈性理論乃至整個固體力學的發展產生了深遠的影響。法國的S.-D.泊松於1829年得出了受橫向載荷平板的撓度方程。法國的A.J.C.B.de聖維南於1855年用半逆解法解出了柱體扭轉和彎曲問題，並提出了有名的聖維南原理。隨後，德國的F.E.諾伊曼建立了三維彈性理論，並建立了研究圓軸縱向振動的較完善的方法。德國的G.R.基爾霍夫提出梁的平截面假設和板殼的直法線假設，他還建立了板殼的準確邊界條件並導出了平板彎曲方程。英國的J.C.麥克斯韋在19世紀50年代完備地發展了光測彈性的應力分析技術後，又於1864年對只有兩個力的簡單情況提出了功的互等定理；隨後，意大利的E.貝蒂於1872年對該定理加以普遍證明。意大利的A.卡斯蒂利亞諾於1873年提出了卡氏第一和卡氏第二定理。德國的F.恩蓋塞於1884年提出了餘能（見應變能）的概念。德國的L.普朗特於1903年提出瞭解扭轉問題的薄膜比擬法。S.P.鐵木辛柯在20世紀初用能量原理解決了許多杆、板、殼的穩定性問題。匈牙利的T.von卡門首先建立了彈性平板非線性的基本微分方程，為以後研究非線性問題開闢了道路。蘇聯的H.※.穆斯赫利什維利於1933年發表了彈性力學複變函數方法。美國的L.H.唐奈於同一年研究了圓柱形殼在扭力作用下的穩定性問題，並在後來建立了唐奈方程。W.弗呂格於1932年和1934年發表了圓柱形薄殼的穩定性和彎曲的研究成果。蘇聯的B.3.符拉索夫在1940年前後建立了薄壁杆、折板系、扁殼等二維結構的一般理論。在飛行器、艦艇、原子反應堆和大型建築等結構的高精度要求下，有很多學者參加了力學研究工作，並解決了大量複雜問題。此外，彈性固體的力學理論還不斷滲透到其他領域，如用於紡織纖維、人體骨骼、心臟、血管等方面的研究。

1773年庫侖提出土的屈服條件，這是人類定量研究塑性問題的開端。1864年H.特雷斯卡在對金屬材料研究的基礎上，提出了最大剪應力屈服條件，它和後來德國的R.von米澤斯於1913年提出的最大形變比能屈服條件是塑性理論中兩個最重要的屈服條件。19世紀60年代末、70年代初，聖維南提出塑性理論的基本假設，並建立了它的基本方程。他還解決了一些簡單的塑性變形問題。在塑性理論的發展過程中先後出現了五種理論：①繼聖維南之後，經M.萊維、米澤斯、普朗特、A.羅伊斯、W.普拉格、D.C.德魯克、A.A.伊柳辛等學者近90年的努力建立的一整套塑性增量理論；②德國的H.亨奇於1923年建立的滑移線理論（見滑移線法）；③由亨奇於1924年提出，後由伊柳辛發展的塑性全量理論；④米澤斯於1928年開創的塑性位勢理論；⑤30年代發展起來的塑性極限分析理論（見結構塑性極限分析）。

指的是第二次世界大戰以後的時期，這個時期固體力學的發展有兩個特徵：一是有限元法和電子計算機在固體力學中得到廣泛應用；二是近二三十年出現了兩個新的分支——斷裂力學和複合材料力學。電子計算機是1946年問世的。M.J.特納等人於1956年提出有限元法的概念後，有限元法發展很快，在固體力學中大量應用，解決了很多複雜的問題。

結構物體總是存在裂紋，這促使人們去探討裂紋尖端的應力和應變場以及裂紋的擴展規律。早在20年代，A.A.格里菲思首先提出了玻璃的實際強度取決於裂紋的擴展應力這一重要觀點。G.R.歐文於1957年提出的應力強度因子及其臨界值概念，用以判別裂紋的擴展，從此誕生了斷裂力學。隨後，P.C.帕里斯為此作了很多研究工作。H.利伯維茨和J.埃夫蒂斯基於能量分析提出了非線性範圍的斷裂韌度的概念。一些學者在此基礎上發展了斷裂力學的理論和方法。重要成果有：1961年A.A.韋爾斯和F.M.伯德金等人提出了裂紋頂端張開位移方法（即COD法）；1963年F.厄爾多根和美籍華人薛昌明提出混合型裂紋擴展的最大拉應力理論；1968年J.R.賴斯研究塑性區內裂紋前緣的應力場和應變場而提出J積分；1973年薛昌明又提出了應變能密度理論。

纖維增強複合材料力學發端於50年代。複合材料力學研究有宏觀、細觀和微觀三個方向。固體力學各分支在各向同性材料研究中所形成的基本概念和力學理論一般仍能應用於複合材料，只是增加了一些新的力學內容，如要考慮非均勻性、各向異性、層間剝離等。在宏觀研究方面，美籍華人蔡為侖和R.希爾在50年代建立了各向異性複合材料的破壞準則；以後，又出現了蔡-吳張量破壞準則；近十餘年來在纖維增強複合材料的板殼力學方面出現了大量的研究成果，解決了大量的實際問題。在細觀研究方面，B.W.羅森、J.C.哈爾平、蔡為侖等作出了貢獻。化學工作者從微觀方面來考慮材料的力學性能，他們提出的化學鍵理論就是研究如何增加層間剪切強度和濕強度。複合材料力學是年輕學科，但發展迅速，它解決了大量傳統材料難於勝任的結構問題 ^[1]  。

固體力學所研究的可變形固體是一種簡化的力學模型。它具有連續性，即在固體所佔有的空間內連續無空隙地充滿着物質。如果進一步簡化，可以假定它是均勻、各向同性的，所產生的變形是微小的。

可變形固體按其材料的本構關係可分為彈性體、彈塑性體、粘彈性體等。按其形狀的幾何特徵，可變形固體可以分為以下三類。①杆件：它的縱向尺寸比兩個橫向尺寸大很多倍，如梁和柱。②板和殼：它的長度和寬度遠大於第三個方向的尺寸（厚度）。平分厚度的中面分別為平面或曲面，如平板閘門的面板，某些房屋的頂蓋。③空間體(實體)：它在三個方向的尺寸是同量級的，如堤壩、地基、球形支座、短滾輪等。④薄壁杆件，它的長寬厚尺寸都不是同量級的。在飛行器、船舶和建築等工程結構中廣泛採用的薄壁杆件如圖1所示。

固體力學可以分為若干個次級分支學科，它們在研究對象方面各有側重，但又不能截然分開。它們的研究思路、基本假設和研究方法不盡相同，所得的結果和結論也有所不同。

材料力學是固體力學中最早發展起來的一個分支，它研究材料在外力作用下的力學性能、變形狀態和破壞規律，為工程設計中選用材料和選擇構件尺寸提供依據。它研究的對象主要是杆件，包括直杆、曲杆(如掛鈎、拱)和薄壁杆等，但也涉及一些簡單的板殼問題。在固體力學各分支中，材料力學的分析和計算

方法一般説來最為簡單，但材料力學對於其他分支學科的發展起着啓蒙和奠基的作用。

彈性力學又稱彈性理論，是研究彈性物體在外力作用下的應力場、應變場以及有關的規律。彈性力學首先假設所研究的物體是理想的彈性體，即物體承受外力後發生變形，並且其內部各點的應力和應變之間是一一對應的，外力除去後，物體恢復到原有形態，而不遺留任何痕跡。彈性力學研究的最基本思想是假想把物體分割為無數個微元體，考慮這些微元體的受力平衡和微元體間的變形協調。此外，還要考慮物體變形過程中應力和應變間的函數關係。

彈性力學的理論可分為線性理論和非線性理論兩類。前者依據的方程都是線性方程，後者依據的方程中有非線性方程。位移和應變之間的非線性稱為幾何非線性；應力和應變之間的非線性稱為物理非線性。彈性力學也可分為數學彈性力學和應用彈性力學。前者是經典的精確理論；後者是在前者各種假設的基礎上，根據實際應用的需要，再加上一些補充的簡化假設而形成的應用性很強的理論。從數學上看，應用彈性力學粗糙一些；但從應用的角度看，它的方程和計算公式比較簡單，並且能滿足很多結構設計的要求。

塑性力學又稱塑性理論，是研究固體受力後處於塑性變形狀態時，塑性變形與外力的關係，以及物體中的應力場、應變場以及有關規律。物體受到足夠大外力的作用後，它的一部或全部變形會超出彈性範圍而進入塑性狀態，外力卸除後，變形的一部分或全部並不消失，物體不能完全恢復到原有的形態。

一般地説，在原來物體形狀突變的地方、集中力作用點附近、裂紋尖端附近，都容易產生塑性變形。塑性力學的研究方法同彈性力學一樣，也從進行微元體的分析入手。在物體受力後，往往是一部分處於彈性狀態，一部分處於塑性狀態，因此需要研究物體中彈塑性並存的情況。這樣，可以充分地發揮材料的性能並能更準確地估計物體的承載能力。塑性力學也分為數學塑性力學和應用塑性力學，其含義同彈性力學的分類是一樣的。

研究細長杆、杆繫結構、薄板殼以及它們的組合體在各種形式的壓力作用下產生變形，以至喪失原有平衡狀態和承載能力的問題。彈性結構喪失穩定性，是指結構受壓力後由和原來外形相近似的穩定平衡形式向新的平衡形式急劇轉變或者喪失承載能力，對應的壓力載荷即是所謂的臨界載荷。在設計結構時除按要求計算其強度外，還必須考慮失穩時的應力水平和失穩變形的大小，並需求出臨界載荷。結構穩定性理論可分經典線性理論（小撓度理論）和非線性理論（大撓度理論）兩類，經典線性理論在數學上作線性化處理，但實驗表明，薄板殼按線性理論處理後得到的一些結果和實驗不一致，為此又提出了非線性失穩的概念。對於彈性薄殼，主要應考慮幾何非線性。若殼體在失穩前發生塑性變形，則應同時考慮物理非線性和幾何非線性以及兩者的相互影響。研究結構失穩前狀態的理論叫作前屈曲理論，研究失穩後狀態的理論叫作後屈曲理論。工程結構是不完善的，存在各種初始缺陷，因此初始缺陷理論也在不斷髮展。

研究穩定性問題的方法一般分為靜力學法、動力學法和能量法。靜力學法主要用於研究撓度微分方程的積分；動力學法主要用於研究外壓力增加時結構系統的自由振動；能量法則以最小勢能原理為基礎進行研究，它在工程結構，特別是複雜工程結構的研究中被廣泛採用。

在工程結構設計中，要進行結構的靜力計算、動力計算、穩定性計算和斷裂計算等。結構力學就是研究工程結構承受和傳遞外力的能力，進而從力學的角度研製新型結構，以使結構達到強度高、剛度大、重量輕和經濟效益好的綜合要求。古典結構力學即狹義的結構力學的研究範圍限於杆繫結構，如桁架和剛架。廣義的結構力學把研究範圍擴大到薄壁杆件以及杆、板、殼的組合體的某些結構，如張力場渠等。一般工程結構已經有成熟的基本力學理論和計算方法，對大型結構或要考慮多種因素影響的複雜結構，利用有限元法和電子計算機進行力學分析和計算，能夠取得比較好的結果。（見結構力學）

振動理論是研究物體的週期性運動或某種隨機的規律的學科。最簡單、最基本的振動是機械振動，即物體機械運動的週期性變化。振動會使物體變形、磨損或破壞，會使精密儀裹精度降低。但是又可利用振動特性造福於人類。例如機械式鐘錶、各種樂器、振動傳輸機械等都是利用振動特性的製品。因此，限制振動的有害方面和利用其有利方面，是研究振動理論的目的。

機械振動有多種分類法，最基本的分為自由振動、受迫振動和自激振動。自由振動是由外界的初干擾引起的；受迫振動是在經常性動載荷(特別是週期性動載荷)作用下的振動；自激振動是振動系統在受系統振動控制的載荷作用下的振動。在工程實踐中，對振動系統主要研究它的振型、振幅、固有頻率。研究轉動系統的轉子動力學也屬於振動理論的範疇。

斷裂力學又稱斷裂理論，研究工程結構裂紋尖端的應力場和應變場，並由此分析裂紋擴展的條件和規律。它是固體力學最新發展起來的一個分支。

許多固體都含有裂紋，即使沒有宏觀裂紋，物體內部的微觀缺陷(如微孔、晶界、位錯、夾雜物等)也會在載荷作用、腐蝕性介質作用，特別是交變載荷作用下，發展成為宏觀裂紋。所以，斷裂理論也可説是裂紋理論，它所提出的斷裂韌度和裂紋擴展速率等，都是預測裂紋的臨界尺寸和估算構件壽命的重要指標，在工程結構上得到廣泛應用。研究裂紋擴展規律，建立斷裂判據，控制和防止斷裂破壞是研究斷裂力學的目的。

複合材料力學是研究現代複合材料(主要是纖維增強複合材料)構件，在各種外力作用和不同支持條件下的力學性能、變形規律和設計準則，並進而研究材料設計、結構設計和優化設計等。它是20世紀50年代發展起來的固體力學的一個新分支。

複合材料力學的研究必須考慮複合材料的各向異性性質和非均勻性。複合材料的力學性能決定於各組成材料的力學性能以及它們的形狀、含量、分佈狀況以及鋪層厚度、方向和順序等多種因素。

纖維增強複合材料的比強度(強度/密度)和比剛度(剛度/密度)均高於傳統的金屬材料，而且其力學性能可設計，此外還具有良好的耐高温性能、抗疲勞性能、減振性能以及容易加工成型等一系列優點。這些優點都是力學工作者所追求和研究的。複合材料力學的觸角已伸入到材料設計、材料製作工藝過程和結構設計中，並在很多方面得到了廣泛的應用。

在固體力學中，可以用實驗方法、數學方法，也可以用實驗和數學相結合的方法進行力學分析。實驗方法是用機械的、電的、光的或其他手段在實物上或模型上測量所需的量，或將測量結果再經過換算而得到固體力學問題中需求的量。許多複雜而難於計算的問題往往是用實驗方法研究的（見結構試驗）。數學方法就是在一定的初始條件和邊界條件下求解固體力學的基本方程，得到問題的解。固體力學的基本方程是根據力學中的平衡或運動規律、變形的連續規律以及材料的本構關係建立的代數方程或微分方程。對於後者，數學方法可分為精確解法和近似解法兩類。精確解法有分離變量法、複變函數法等，是精確求解微分方程定解問題的方法。它只適用於不太複雜的問題。近似解法有變分法、有限差分法、有限元法等（見結構分析數值方法）。這些方法可以在電子計算機上實施，已得到廣泛的應用和迅速的發展。

對水利工程來説，固體力學主要用於工程結構的力學分析。所得的結果（如結構的內力、應力、位移）可作為設計的依據，使工程結構滿足安全與經濟這兩方面的設計要求。力學分析的方法可以根據結構的類型或其簡化模型而分別選用。工程上常常遇到的杆件或杆繫結構是應用材料力學或結構力學進行力學分析的。例如：重力壩、閘墩等可以簡化為杆件，應用材料力學分析它們的應力；對於水電站廠房骨架、閘門梁格系統等杆繫結構，則應用結構力學進行內力分析。這樣分析只要用簡單的數學方法，計算比較方便。對於實體、板和殼等宜用彈性力學進行力學分析。工程結構的簡化和力學分析可以有不同的方案。例如：前述的重力壩又可以簡化為楔形體而利用彈性力學中的楔形體解答；還可以作為彈性力學的平面問題，應用有限元法或其他數值方法分析壩體應力。板和殼也可以簡化為杆繫結構，作為結構力學問題進行計算。有些問題的研究要綜合應用固體力學的多個分支學科。例如對基礎梁的研究就需綜合應用結構力學和彈性力學。

固體力學在應用中不斷髮展，隨着電子計算機的廣泛使用，力學分析和工程設計有效地結合，出現了結構優化設計、計算機輔助設計等新學科。