庫默爾擴張

庫默爾擴張是(Kummer extesion)是阿貝爾擴張的一種類型。設E是域F的一個阿貝爾擴域，若E/F的伽羅瓦羣G=G(E/F)中元素的最大階數為m(m稱為G的指數)，並且F含m個不同的m次單位根，則E稱為F的庫默爾m擴張；E稱為庫默爾域。例如，設F含本原n次單位根，且E為多項式：

在F上的分裂域，則E是F的庫默爾n擴張。此時，E是F的阿貝爾擴域且F的特徵數不能整除n，於是，x-a_i在E內無重根，所以，E/F是可分的，從而是正規的。

阿貝爾擴張(Abelian extension)是一類重要的域擴張，設K是域F的伽羅瓦擴域，若其伽羅瓦羣G(K/F)為一阿貝爾羣，則稱此擴張為阿貝爾擴張，此時，K稱為F上阿貝爾擴域。這是一類較廣泛的域擴張，循環擴張、分圓擴張及庫默爾擴張等均為阿貝爾擴張的特例。 ^[1] 

多重阿貝爾擴張(multiple Abelian extension)是由一串阿貝爾擴域構成的域擴張，設K是域F的擴域，若存在K的一串子域鏈

使得

是

的阿貝爾擴域，則稱K為F的多重阿貝爾擴張，或多重阿貝爾擴域。根式擴域、素階羣擴張塔皆為多重阿貝爾擴域。

分圓域擴張(cyclotomic field extension)是一類重要的阿貝爾擴張，設Ω是域F的代數閉包，其中間域K稱為F的一個分圓擴域，若K是通過對F添加某些單位根而生成的，此域擴張稱為分圓域擴張。K是域F的有限次分圓擴域的充分必要條件為，存在一個本原單位根ξ∈K，使K=F(ξ)。對有理數域Q添加一個本原n次單位根ξ所得的分圓擴張Q(ξ)稱為圓的n分域，它是有理數域Q的φ(n)次阿貝爾擴域，其中φ(n)為歐拉函數。n分域來源於

其中

，從而可將單位圓n等分。

類域論是代數數論中最為重要的理論之一，也是數學所有理論中體系最為完美的理論之一，它深刻地刻畫了(相對)阿貝爾擴張。

類域論是描述下列幾種類型的域k的Abel擴張(Galois羣是交換羣的有限Galois擴張)的理論：

(1)k為代數數域，即有理數域Q的有限擴張；

(2)k是p-adic數域

的有限擴張；

(3)k是有限域上一個變量的代數函數域；

(4)k是有限域上的形式冪級數域。

在類域論中，最為著名的就是由Kronecker，Weber，HiIberr還有其他一些數學家總結出來的類域論基本定理：

定理1(類域論基本定理)若

是數域的有限Abel擴張，其Galois羣為

，則存在k的模

(稱為

的導子，是的一個除子)。

(1)使得對k的任意模m，由

得出

其中

為與m互素的k的理想集，

為與m互素的K的理想到k的範的全體，

為模m餘1的

生成的主理想集；

(2) k的素除子v在K分歧當且僅當

；k的與m互素的素理想p在K中完全分裂當且僅當

；

(3) 對k的任意模m和

的任一含

的子羣H，總存在唯一的Abel擴張

使得

，特別地

定理中，

稱為射線理想類羣，所謂射線理想類羣即是一種廣義理想類羣，它是類域論最初的表述語言(馬上將會用伊代爾語言給出類域論基本定理)。數域k的一個模(或稱為閉鏈)是指其素除子的一個形式積

此積式中v遍歷k的素除子，整數

只對有限個v非零，且當v是實除子時

或1，當v是復除子時

。對於

，定義

為

(當v是

素除子)以及

到vC嵌入為正實數(

為實除子)。滿足

的

生成的主理想的全體記為

，與m互素的k的理想全體記作

，於是

便稱為k的以m為模的射線理想類羣，其元素個數

稱為射線理想類數。 ^[1] 

上面已經提到，射線理想類羣是類域論基本定理的最初表述語言，而更常用的是伊代爾語言，下面就給出類域論基本定理的伊代爾語言。

定理1'(類域論基本定理的伊代爾語言)若

是數域的有限Abel擴張，則

其中

為k的伊代爾羣，

表示K的伊代爾羣到k的範數。

上述羣的同構是由Artin映射(Artin符號)給出的。由類域論基本定理的伊代爾語言可以看出，數域k的所有具有Abel擴張

與

的含

的所有開子集H之間存在一一對應關係，即K對應於

，稱為H的類域(Class Field)，且

(類域論主同構)

(2)和(4)類型的域稱為局部的，(1)和(4)類型的域稱為整體的。於是，相應的就有局部類域論和整體類域論。