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局部類域論
（刻畫局部域的阿貝爾擴張的系統的理論）
鎖定
- 中文名
- 局部類域論
- 外文名
- local class field theory
- 所屬學科
- 數學（代數數論）
- 相關概念
- 類域論，阿貝爾擴張，局部域等
- 相關定理
- 類域論基本定理
- 定義
- 刻畫局部域的阿貝爾擴張的系統的理論
目錄
- 1 基本介紹
- ▪ 類域論
- ▪ 類域論基本定理
- 2 局部類域論的基本定理
局部類域論基本介紹
局部類域論類域論
類域論是代數數論中最為重要的理論之一，也是數學所有理論中體系最為完美的理論之一。
類域論是描述下列幾種類型的域k的Abel擴張(Galois羣是交換羣的有限Galois擴張)的理論：
(1)k為代數數域，即有理數域Q的有限擴張；
(2)k是p-adic數域
的有限擴張；
(3)k是有限域上一個變量的代數函數域；
(4)k是有限域上的形式冪級數域。
局部類域論類域論基本定理
在類域論中，最為著名的就是由Kronecker，Weber，HiIberr還有其他一些數學家總結出來的類域論基本定理：
定理1(類域論基本定理) 若
是數域的有限Abel擴張，其Galois羣為
，則存在k的模
(稱為
的導子，是的一個除子)。
(1)使得對k的任意模m，由
得出
(2) k的素除子v在K分歧當且僅當
；k的與m互素的素理想p在K中完全分裂當且僅當
；
(3) 對k的任意模m和
的任一含
的子羣H，總存在唯一的Abel擴張
使得
，特別地
定理中，
稱為射線理想類羣，所謂射線理想類羣即是一種廣義理想類羣，它是類域論最初的表述語言(馬上將會用伊代爾語言給出類域論基本定理)。數域k的一個模(或稱為閉鏈)是指其素除子的一個形式積
上面已經提到，射線理想類羣是類域論基本定理的最初表述語言，而更常用的是伊代爾語言，下面就給出類域論基本定理的伊代爾語言。
定理1'(類域論基本定理的伊代爾語言) 若
是數域的有限Abel擴張，則
上述羣的同構是由Artin映射(Artin符號)給出的。由類域論基本定理的伊代爾語言可以看出，數域k的所有具有Abel擴張
與
的含
的所有開子集H之間存在一一對應關係，即K對應於
，稱為H的類域(Class Field)，且
局部類域論局部類域論的基本定理
所謂局部類域論即是刻畫局部域的Abel擴張的系統理論，它可由類域論導出，當然，也可先用較為特別的方法證明局部類域論，再由此推出整體類域論，局部類域論也有相應的基本定理。
定理2 若
為局部域的有限Abel擴張，則
反之，
的所有具有有限指數的開子羣都可以成為某一Abel擴張K的範映射(範子羣)，這便是局部類域論的存在性定理。
下面介紹類域論中的幾個重要定理。
定理3(分裂定理) 設
是H的類域(
)，v是k的素除子，則v在K(完全)分裂當且僅當
。
定理4(分歧定理) 設
是是H的類域(
)，v是k的素除子，則v在K中非分歧當且僅當
，其中
是
的單位羣。
定理5(同構定理) 數域k的Hilbert類域
的Galois羣
與k的理想類羣同構。
