巴特沃斯濾波器

這種濾波器最先由英國工程師斯蒂芬·巴特沃斯（Stephen Butterworth）在1930年發表在英國《無線電工程》期刊的一篇論文中提出的。 ^[2] 

頻域圖像增強是將圖像通過變換函數從空域轉換為頻域，在頻域空間裏對圖像進行濾波處理實現圖像增強，再由逆變換函數轉換回空域圖像的過程。 巴特沃斯濾波是頻域濾波圖像增強的一種。 ^[4] 

巴特沃斯濾波器的特點是通頻帶內的頻率響應曲線最大限度平坦，沒有起伏，而在阻頻帶則逐漸下降為零。 在振幅的對數對角頻率的波特圖上，從某一邊界角頻率開始，振幅隨着角頻率的增加而逐步減少,趨向負無窮大。 ^[1] 

一階巴特沃斯濾波器的衰減率為每倍頻6分貝，每十倍頻20分貝。二階巴特沃斯濾波器的衰減率為每倍頻12分貝、三階巴特沃斯濾波器的衰減率為每倍頻18分貝、如此類推。巴特沃斯濾波器的振幅對角頻率單調下降，並且也是唯一的無論階數，振幅對角頻率曲線都保持同樣的形狀的濾波器。只不過濾波器階數越高，在阻頻帶振幅衰減速度越快。其他濾波器高階的振幅對角頻率圖和低階數的振幅對角頻率有不同的形狀。

巴特沃斯低通濾波器可用如下振幅的平方對頻率的公式表示： ^[3] 

其中,

= 濾波器的階數

= 截止頻率 = 振幅下降為 -3分貝時的 頻率

= 通頻帶邊緣頻率

在通頻帶邊緣的數值

階巴特沃斯濾波器的考爾第一型電子線路圖如圖1: 其中：

電容

；

= 奇數

電感

；

= 偶數

巴特沃斯濾波器的特點是通頻帶內的頻率響應曲線最大限度平坦，沒有起伏，而在阻頻帶則逐漸下降為零。在振幅的對數對角頻率的波得圖上，從某一邊界角頻率開始，振幅隨着角頻率的增加而逐漸減少，趨向負無窮大。 ^{[3]  [1]} 

一階巴特沃斯濾波器的衰減率為每倍頻6分貝，每十倍頻20分貝。二階巴特沃斯濾波器的衰減率為每倍頻12分貝，三階巴特沃斯濾波器的衰減率為每倍頻18分貝，如此類推。巴特沃斯濾波器的振幅對角頻率單調下降，並且也是唯一的無論階數、振幅對角頻率曲線都保持同樣的形狀的濾波器。只不過濾波器階數越高，在阻頻帶振幅衰減速度越快。其他濾波器高階的振幅對角頻率圖和低級數的振幅對角頻率有不同的形狀。

巴特沃斯濾波器是濾波器的一種設計分類，類同於切比雪夫濾波器，它有高通，低通，帶通，帶阻等多種濾波器。它在通頻帶內外都有平穩的幅頻特性，但有較長的過渡帶，在過渡帶上很容易造成失真，在調用MATLAB裏的巴特沃斯濾波器做仿真時，信號總會在第一個週期略微有些失真。但往後的幅頻特性就非常的好。

下圖是巴特沃斯濾波器（左上）和同階第一類切比雪夫濾波器（右上）、第二類切比雪夫濾波器（左下）、橢圓函數濾波器（右下）的頻率響應圖。