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切比雪夫濾波器

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切比雪夫濾波器，又名“車比雪夫濾波器”，是在通帶或阻帶上頻率響應幅度等波紋波動的濾波器。切比雪夫濾波器來自切比雪夫分佈，以“切比雪夫”命名，是用以紀念俄羅斯數學家巴夫尼提·列波維其·切比雪夫（Пафнутий Львович Чебышёв）。
中文名
切比雪夫濾波器
外文名
俄文：Пафнутий Львович Чебышёв英文：Chebyshev
別    名
車比雪夫濾波器
來    源
切比雪夫分佈
分    類
I型穿心式電容，II型穿心式電容
性    質
濾波器

目錄

  1. 1 特點
  2. ▪ I型切比雪夫濾波器
  3. ▪ 切比雪夫多項式
  4. ▪ II型切比雪夫濾波器

切比雪夫濾波器特點

切比雪夫濾波器在過渡帶比巴特沃斯濾波器的衰減快，但頻率響應的幅頻特性不如後者平坦。切比雪夫濾波器和理想濾波器的頻率響應曲線之間的誤差最小，但是在通頻帶內存在幅度波動。
根據頻率響應曲線波動位置的不同，切比雪夫濾波器可以分為以下兩種：

切比雪夫濾波器I型切比雪夫濾波器

在通帶（或稱“通頻帶”）上頻率響應幅度等波紋波動的濾波器稱為“I型切比雪夫濾波器”；
'''n'''階第一類切比雪夫濾波器的幅度與頻率的關係可用下列公式表示 [1]  ：
:
其中：
*
*而
是濾波器在截止頻率
的放大率 （“注意” 常用的以幅度下降3分貝的頻率點作為截止頻率的定義不適用於切比雪夫濾波器!）
f>：
> 是 n階切比雪夫多項式 [1] 
其中
或：
“切比雪夫濾波器”的階數等於此濾波器的電子線路內的電抗元件數。
切比雪夫濾波器的幅度波動=
分貝
當
，切比雪夫濾波器的幅度波動=3分貝。
如果需要幅度在在阻頻帶邊上衰減得更陡峭，可允許在複平面的
軸上存在零點。但結果會使通頻帶內振幅波動較大，而在阻頻帶內對信號抑制較弱。 這種濾波器叫橢圓函數濾波器或考爾濾波器。

切比雪夫濾波器切比雪夫多項式

切比雪夫多項式是與棣莫弗定理有關，以遞歸方式定義的一系列正交多項式序列。 通常，第一類切比雪夫多項式以符號Tn表示， 第二類切比雪夫多項式用Un表示。切比雪夫多項式Tn或Un代表n階多項式。
切比雪夫多項式在逼近理論中有重要的應用。這是因為第一類切比雪夫多項式的根（被稱為切比雪夫節點）可以用於多項式插值。相應的插值多項式能最大限度地降低龍格現象，並且提供多項式在連續函數的最佳一致逼近。
切比雪夫多項式
n
切比雪夫多項式
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10








切比雪夫濾波器II型切比雪夫濾波器

在阻帶（或稱“阻頻帶”）上頻率響應幅度等波紋波動的濾波器稱為“II型切比雪夫濾波器”。
也稱倒數切比雪夫濾波器，較不常用，因為頻率截止速度不如I型快，也需要用更多的電子元件。II型切比雪夫濾波器在通頻帶內沒有幅度波動，只在阻頻帶內有幅度波動。 [1] 
II型切比雪夫濾波器的轉移函數為：
分貝
5分貝衰減度相當於
=0.6801；10分貝衰減度相當於
=0.3333。
-3分貝頻率fH 和截止頻率 fC 有如下關係：
參考資料
  • 1.    Rolf Schaumann,Haiqiao Xiao, Mac E.van Valkenburg,． Analog Filter Design3nd Indian Edition,． Oxford ： Oxford University Press, ， 2013：295-298