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棣莫弗定理
鎖定
- 中文名
- 棣莫弗定理
- 外文名
- De Moivre's formula
- 表達式
- Z1Z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]
- 提出者
- 棣莫弗
- 適用領域
- 複數
- 應用學科
- 數學
- 相關公式
- 歐拉公式
棣莫弗定理科學原理
棣莫弗定理定理證明
證:先講一下複數的三角形式的概念。在複平面C上,用向量
來表示複數
。於是,該向量可以分成兩個在實軸、虛軸上的分向量。如果向量
與實軸正方向的夾角為
,那麼這兩個分向量分別等於
(其中
)。所以,複數Z可以表示為
。這裏θ稱為複數Z的輻角。
[2]
∵
∴
其實該定理可以推廣為一般形式。
棣莫弗定理推廣形式
設n個複數
則:
棣莫弗定理乘方形式
在一般形式中如果令
,則能導出複數乘方公式:.
棣莫弗定理乘方形式證明
對n∈Z*,採用數學歸納法證明。
①當n=1時,等式明顯成立
②設當n=k時等式成立,則當n=k+1時
即當n=k+1時等式也成立
綜上,對於任意正整數n,都有
棣莫弗定理與歐拉公式的聯繫
利用棣莫弗定理有:
如果可以把所有的複數改寫成指數的形式,即
則
這和指數的可加性一致。
棣莫弗定理棣莫弗簡介
棣莫弗,A.(De Moivre,Abraham)1667年5月26日生於法國維特里的弗朗索瓦;1754年11月27日卒於英國倫敦.數學家.
棣莫弗出生於法國的一個鄉村醫生之家,其父一生勤儉,以行醫所得勉強維持家人温飽。棣莫弗自幼接受父親的教育,稍大後進入當地一所天主教學校唸書,這所學校宗教氣氛不濃,學生們得以在一種輕鬆、自由的環境中學習,這對他的性格產生了重大影響。隨後,他離開農村,進入色拉的一所清教徒學院繼續求學,這裏卻戒律森嚴,令人窒息,學校要求學生宣誓效忠教會,棣莫弗拒絕服從,於是受到了嚴厲制裁,被罰背誦各種宗教教義。那時,學校不重視數學教育,但棣莫弗常常偷偷地學習數學。在早期所學的數學著作中,他最感興趣的是C.惠更斯(Huygens)關於賭博的著作,特別是惠更斯於1657年出版的《論賭博中的機會》(Deratiociniis in ludo aleae)一書,啓發了他的靈感。
棣莫弗定理1684年
1684年,棣莫弗來到巴黎,幸運地遇見了法國傑出的數學教育家、熱心傳播數學知識的J.奧扎拉姆(Ozanam)。在奧扎拉姆的鼓勵下,棣莫弗學習了歐幾里得(Euclid)的《幾何原本》(Ele-ments)及其他數學家的一些重要數學著作。
棣莫弗定理1685年
1685年,棣莫弗與許多信仰新教的教友一道,參加了震驚歐洲的宗教騷亂,在這場騷亂中,他與許多人一起被監禁起來。正是在這一年,保護加爾文教徒的南茲敕令被撤銷。隨後,包括棣莫弗在內的許多有才華的學者由法國移住英國。據教會的材料記載,棣莫弗一直被監禁至1688年才獲釋,並於當年移居倫敦。但據20世紀60年代發現的一份當時的材料,1686年時棣莫弗已經到了英國。隨後,棣莫弗一直生活在英國,他對數學的所有貢獻全是在英國做出的。
抵達倫敦後,棣莫弗立刻發現了許多優秀的科學著作,於是如飢似渴地學習。一個偶然的機會,他讀到I.牛頓(Newton)剛剛出版的《自然哲學的數學原理》(Mathematical principles of natural philosophy),深深地被這部著作吸引了。後來,他曾回憶起自己是如何學習牛頓的這部鉅著的:他靠做家庭教師餬口,必須給許多家庭的孩子上課,因此時間很緊,於是就將這部鉅著拆開,當他教完一家的孩子後去另一家的路上,趕緊閲讀幾頁,不久便把這部書學完了。這樣,棣莫弗很快就有了充實的學術基礎,並開始進行學術研究。
棣莫弗定理1692年
1692年,棣莫弗拜會了英國皇家學會秘書E.哈雷(Halley),哈雷將棣莫弗的第一篇數學論文“論牛頓的流數原理”(On New-ton’s doctrine of fluxions)在英國皇家學會上宣讀,引起了學術界的注意。1697年,由於哈雷的努力,棣莫弗當選為英國皇家學會會員。
棣莫弗的天才及成就逐新受到了人們廣泛的關注和尊重。哈雷將棣莫弗的重要著作《機會的學説》(The doctrine of chances)呈送牛頓,牛頓對棣莫弗十分欣賞。據説,後來遇到學生向牛頓請教概率方面的問題時,他就説:“這樣的問題應該去找棣莫弗,他對這些問題的研究比我深入得多”。1710年,棣莫弗被委派參與英國皇家學會調查牛頓-萊布尼茨關於微積分優先權的委員會,可見他很受學術界的尊重。1735年,棣莫弗被選為柏林科學院院士。1754年,又被法國的巴黎科學院接納為會員。
棣莫弗終生未婚。儘管他在學術研究方面頗有成就,但卻貧困潦倒。自到英國倫敦直至晚年,他一直做數學方面的家庭教師。他不時撰寫文章,還參與研究確定保險年金的實際問題,但獲得的收入卻極其微薄,只能勉強餬口。他經常抱怨説,週而復始從一家到另一家給孩子們講課,單調乏味地奔波於僱主之間,純粹是浪費時間。為此,他曾做了許多努力,試圖改變自己的處境,但無濟於事。
[4]
- 參考資料
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- 1. 《數學辭海》委員會. 數學辭海.第6卷[M]. 山西教育出版社, 2002.
- 2. Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. (1964). Handbook of Mathematical Functions. New York: Dover Publications. p. 74. ISBN 0-486-61272-4..
- 3. 王玉華. 歐拉公式的推論與應用[J]. 科技創新導報,2009,(13):236. [2017-08-27]. DOI:10.16660/j.cnki.1674-098x.2009.13.182
- 4. Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "De Moivre formula", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4