波特圖

波特圖是由貝爾實驗室的荷蘭裔科學家亨德里克·韋德·波特在1930年發明。波特用簡單但準確的方法繪製增益及相位的圖，因此他發明的圖也就稱為波特圖。

波特圖幅頻圖的頻率用對數尺度表示，增益部分一般都用功率的分貝值來表示，也就是將增益取對數後再乘以10。由於增益用對數來表示，因此一傳遞函數乘以一常數，在波特增益圖只需將圖形的縱向移動即可，二傳遞函數的相乘，在波特幅頻圖就變成圖形的相加。幅頻圖縱軸0分貝以下具有正增益裕度、屬穩定區，反之屬不穩定區：

波特圖相頻圖的頻率也用對數尺度表示，而相位部分的單位一般會使用度。配合波特相頻圖可以估算一信號進入系統後，輸出信號及原始信號的比例關係及相位。例如一個Asin(ωt) 的信號進入系統後振幅變原來的k倍，相位落後原信號Φ，則其輸出信號則為(Ak)sin(ωt−Φ)，其中的k和Φ都是頻率的函數。相頻圖縱軸-180度以上具有正相位裕度、屬穩定區，反之屬不穩定區

若將系統的增益以複數表示，則複數增益取對數後的虛部即為相位，因此二傳遞函數的相乘，在波特相位圖上也是圖形的相加。 ^[1] 

波特圖可用來計算負反饋系統的增益裕度（gain margin）及相位裕度，進而確認系統的穩定性。 ^[2] 

先定義以下的符號：

其中

在開環增益A_OL遠大於1時，閉環增益A_FB可以用以下方式近似

在開環增益A_OL遠小於1時，閉環增益A_FB可以用以下方式近似

增益A_OL是頻率的複變函數，有大小及相位。

上述的式子中，若βA_OL乘積=−1時，可能會出現增益無窮大（即為不穩定）的情形。（若用大小和相位來表示，此時βA的大小為1，相位為-180度，此條件即稱為巴克豪森穩定性準則。配合波特圖，不但可以判斷系統是否穩定，也可以判斷系統接近以上不穩定條件的程度。

在判斷系統穩定性時，會用到以下二個頻率。第一個頻率f₁₈₀是上述乘積相位恰為-180度的頻率，第二個頻率f_0dB則為乘積的絕對值|βA_OL|=1時的頻率（若以分貝表示時，則為0dB）。頻率f₁₈₀可以用下式來計算：

其中| |表示複數的絕對值（例如|a+jb| = [a+b]）。而頻率f_0dB有以下的關係：

增益裕度（gain margin, GM）是衡量系統穩定程度的一種方法。在波特相位圖上可以找到βA_OL相位到達-180度時的頻率，該頻率即為f₁₈₀，之後就可以在增益圖上找到該頻率時βA_OL的大小。

若|βA_OL|₁₈₀> 1，表示此係統不穩定。若|βA_OL|₁₈₀< 1，此係統穩定，而|βA_OL|分貝值和0dB（對應增益大小為1）的距離表示系統距離不穩定的程度，稱為增益裕度。

增益裕度也可以用下式表示：

相位裕度（phase margin, PM）是另一種衡量系統穩定程度的方法。在波特增益圖上可以找到|βA_OL|大小為1的頻率，該頻率即為f_0dB，之後就可以在相位圖上找到該頻率時βA_OL的相位。

若βA_OL(f_0dB) 的相位 > −180°，表示在任何頻率時系統都會穩定，因為在f₁₈₀時大小已小於1，f_0dB時的相位和-180度之間的差稱為相位裕度。

若只是單純要判斷系統是否穩定，在系統為最小相位系統時，若以下的式子成立，則系統穩定：

若是非最小相位系統，需要用其他方式判斷穩定性，如奈奎斯特圖。 ^[1] 

波特分析儀（Bode plotter）是一種類似示波器的儀器，可以量測反饋控制系統或濾波器在各頻率的增益及相位變化，繪製成波特圖。波特測試儀可以量測系統的截止頻率、增益裕度及相位裕度，在分析或測試系統的穩定性時很有幫助。

波特分析儀的功能和網絡分析儀一樣，不過網絡分析儀一般會用來分析相當高頻時的系統特性。

在教育或研究的應用上，利用波特分析儀繪製特定傳遞函數的波特圖也可助於瞭解該系統的特性。 ^[2]